Просто тригонометрично уравнение

[edrenchev]

Здравейте. Имам неяснота и неразбирам това уравнение.

[tex]cosx=cos2x[/tex]
1-ви начин
[tex]2cos^{2}x-cosx-1=0[/tex]
[tex]cosx=t\in [-1;1][/tex]
[tex]2t^{2}-t-1=0[/tex]
[tex]D=9[/tex]
[tex]t_{1}=1, t_{2}=-\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]cosx=1=>x=2k\pi[/tex]
[tex]cosx=-\frac{1}{ 2} => x=\pm \frac{2\pi}{3 }+2k\pi[/tex]

2-ри начин.
[tex]cosx-cos2x=0[/tex]
2sin[tex]\frac{3x}{2}[/tex]sin [tex]\frac{x}{2 }[/tex] =0
sin[tex]\frac{3x}{2 } =0[/tex] =>[tex]x=\frac{2k\pi}{ 3}[/tex]
sin[tex]\frac{x}{ 2} =0[/tex] =>[tex]x=2k\pi[/tex]

Така объркването ми идва от това защо по втория начин се получават отговорите, а по първия - не.

[Martin Nikovski]

Едното от решенията ти се получава и по двата начина: [tex]x=2k\pi[/tex].
Остава да получим и второто решение. Според отговора (втория начин) то е: [tex]x=\frac{2k\pi}{3 }[/tex]. Значи трябва да докажем, че [tex]\pm \frac{2\pi}{3 } +2k\pi[/tex] (отговора ти по първия начин) е равно на [tex]\frac{2k\pi}{3 }[/tex]...
[tex]\pm\frac{2\pi}{3 }+2k\pi=2\pi\left(k\pm\frac{1}{3 } \right)=2\pi.\frac{3k\pm1}{3 }[/tex]
Знаем обаче, че [tex]k\in Z[/tex] (цяло число), следователно всеки израз от вида [tex]3k\pm1[/tex] може да бъде заместен с цяло число. Тогава отговорът става [tex]\frac{2k\pi}{3 }[/tex], което трябваше да докажем. Както написа [tex]mkmarinov[/tex], това е така, защото изключваме решенията от вида [tex]x=2k\pi[/tex].
П.П. Надявам се, че си разбрал идеята ми... Например ако първоначално [tex]k=0[/tex], вместо да пишем решението като [tex]x=2\pi.\frac{3k\pm1}{3 }=2\pi.\frac{3.0\pm1}{3 }[/tex], [tex]x=2\pi.\frac{1}{3 }[/tex] или [tex]x=2\pi.\frac{-1}{3 }[/tex], можем да го запишем като [tex]\frac{2k\pi}{3 }[/tex], където [tex]k=1[/tex] или [tex]k=-1[/tex]. Тоест всяко решение от вида [tex]x=2\pi.\frac{3k\pm1}{3 }[/tex] има еквивалентни две решения (заради знака [tex]\pm[/tex]) от вида [tex]x=\frac{2k\pi}{3 }[/tex]. Много сложно го обясних...

[martin.nikolov]

Мартине, не си съвсем прав. Число от вида [tex]3k\pm 1[/tex] не може да го замениш просто с [tex]k[/tex]. Например как би получил 9 от [tex]3k\pm 1[/tex] или което е да е кратно на 3 число.

Работата е там, че тези случаи които се изпускат тук са включени в другите решения, те са от вида [tex]2k\pi[/tex].

[Martin Nikovski]

Да... в случая е така... не съм доуточнил... благодаря за допълнението.

[edrenchev]

Да разбрах го това. Искам да попитам за още един начин.

[tex]cosx=cos2x[/tex]
[tex]x=-2x+2k\pi =>x=\frac{2k\pi}{3 }[/tex]
[tex]x=2x+2k\pi =>-x=2k\pi[/tex] (тук тоя мунис какво се прави? и [tex]k\pi[/tex] само положителни ли стойности приима?)

[Martin Nikovski]

Ами... реално този минус няма значение, защото на всяко положително число [tex]k[/tex] съответства отрицателно число, равно по абсолютна стойност на [tex]k[/tex]. [tex]k\in Z[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]k[/tex] може да е положително, отрицателно или 0.
Дали ще напишеш: [tex]x=2k\pi[/tex] или [tex]x=-2k\pi[/tex] е едно и също... Всяко решение от вида [tex]x=2k\pi[/tex] има еквивалентно от вида [tex]x=-2(-k)\pi[/tex]...

[edrenchev]

Благодаря ви много за отговорите