Да се докаже !

[Гост]

моля помогнете:

Ако А , Б и У са ъгли в триъгълник , да се докаже , че.. :

синА + синБ + синУ = 4кос(А/2).кос(Б/2).кос(У/2)

[S.B.]

моля помогнете:

Ако А , Б и У са ъгли в триъгълник , да се докаже , че.. :

синА + синБ + синУ = 4кос(А/2).кос(Б/2).кос(У/2)

[tex]\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma =[/tex] [tex]4\cos \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \beta }{2}\cos \frac{ \gamma }{2}[/tex]
$$\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Rightarrow \beta + \gamma = 180 ^\circ - \alpha$$

[tex]\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma =[/tex]

[tex]= \sin \alpha + 2\sin \frac{ \beta + \gamma }{2}\cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= \sin \alpha + 2\sin \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} \cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= \sin \alpha + 2\sin(90 ^\circ- \frac{ \alpha }{2})\cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= \sin \alpha + 2\cos \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2} + 2\cos \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \beta- \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 2\cos \frac{ \alpha }{2}(\sin \frac{ \alpha }{2} + \cos \frac{ \beta - \gamma }{2}) =[/tex]

[tex]= 2\cos \frac{ \alpha }{2}[ \cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) + \cos ( \frac{ \beta }{2} - \frac{ \gamma }{2})][/tex]

$$\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} + \frac{ \gamma }{2} = 90 ^\circ \Rightarrow 90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2} = \frac{ \beta }{2} + \frac{ \gamma }{2}$$

[tex]2\cos \frac{ \alpha }{2}[\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) + \cos( \frac{ \beta }{2} - \frac{ \gamma }{2})] =[/tex]

[tex]= 2\cos \frac{ \alpha }{2} [\cos( \frac{ \beta }{2}+ \frac{ \gamma }{2}) + \cos( \frac{ \beta }{2} - \frac{ \gamma }{2})] =[/tex]

[tex]=2\cos \frac{ \alpha }{2}.2\cos \frac{ \beta + \gamma + \beta - \gamma }{4} \cos \frac{ \beta + \gamma - \beta + \gamma }{4} =[/tex]

[tex]= 4\cos \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \beta }{2}\cos \frac{ \gamma }{2}[/tex]

[Гост]

благодаря !