Тригонометрични уравнения

[Winner7337]

1) [tex](1+cosx)cotgx=sin2x[/tex]
2) [tex]cos2xcotg3x-sin2x=\sqrt{2}cos5x[/tex]
3) [tex]4sin3x+sin5x=2sinxcos2x[/tex]
4) [tex]2cotg4x - cotg2x=tgx[/tex]

[Martin Nikovski]

1. [tex](1+cosx)cotgx=sin2x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](1+cosx).\frac{cosx}{sinx }=2sinx.cosx[/tex] [tex]/.sinx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cosx(1+cosx-2sin^2x)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cosx[1+cosx-2(1-cos^2x)]=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cosx(2cos^2x+cosx-1)=0[/tex]
[tex]cosx=0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]2cos^2x+cosx-1=0[/tex]
[tex]cosx=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{\pi}{2 } +2k\pi[/tex]
[tex]2cos^2x+cosx-1=0[/tex], [tex]cosx=y\in [-1;1][/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2y^2+y-1=0[/tex]
[tex]D=1^2+4.1.2=9[/tex] [tex]y_1=\frac{-1+3}{4 } =\frac{1}{2 }\in [-1;1][/tex], [tex]y_2=\frac{-1-3}{4 } =-1\in [-1;1][/tex]
[tex]cosx=y_1=\frac{1}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\pm\frac{\pi}{3 }+2k\pi[/tex]
[tex]cosx=y_2=-1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]

[Anubis]

[tex]( 1 + cos x ) \cot x = sin 2x[/tex]

Понеже [tex]\cot x = \frac{cos x}{sin x}[/tex], а пък [tex]sin 2x = 2 sin x cos x[/tex], уравнението се свежда до

[tex]( 1 + cos x ) \frac{cos x}{sin x} = 2 sin x cos x \Leftrightarrow ( 1 + cos x ) cos x = 2 sin^2 x cos x[/tex].

I случай. [tex]cos x = 0[/tex]

II случай. [tex]cos x \neq 0 \Rightarrow 1 + cos x = 2 sin^2 x \Leftrightarrow 2 cos^2 x + cos x - 1 = 0[/tex]

Това се разпада на [tex]cos x = \frac{1}{2}[/tex] или [tex]cos x = - 1[/tex], които са основни тригонометрични уравнения.

[Anubis]

[tex]2 \cot 4x - \cot 2x = \tan x[/tex]

Знаем, че [tex]\cot 4x = \frac{\cot^2 2x - 1}{2 \cot 2x}[/tex], което, заместено в лявата страна, дава [tex]-\frac{1}{\cot 2x}[/tex].

Така ни остана да решим само тригонометричното уравнение

[tex]-\frac{1}{\cot 2x} = \tan x \Leftrightarrow - \tan 2x = \tan x \Leftrightarrow \tan (\pi-2x) = \tan x[/tex].

[Martin Nikovski]

2. [tex]cos2x.cotg3x-sin2x=\sqrt2.cos5x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos2x.\frac{cos3x}{sin3x }-sin2x=\sqrt2.cos5x[/tex] [tex]/.sin3x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos2x.cos3x-sin2x.sin3x=\sqrt2.cos5x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos5x=\sqrt2.cos5x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos5x(1-\sqrt2)=0[/tex] [tex]/:(1-\sqrt2)[/tex]
[tex]cos5x=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5x=\frac{\pi}{2 } +k\pi[/tex] [tex]/:5[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{\pi}{10 }+\frac{k\pi}{5 }[/tex]

[Martin Nikovski]

3. [tex]4sin3x+sin5x=2 sinxcos2x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4sin3x+sin(3x+2x)=2sinxcos2x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4sin3x+sin3xcos2x+sin2xcos3x=2sinxcos2x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x)+2sinxcosxcos3x-2sinxcos2x=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x)+2sinx(cosxcos3x-cos2x)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x)+2sinx[\frac{1}{2 } \left(cos2x+cos4x\right)-cos2x]=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x)+sinx(cos4x-cos2x)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x)+sinx(-2sin3xsinx)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+cos2x-2sin^2x)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(4+1-2sin^2x-2sin^2x)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin3x(5-4sin^2x)=0[/tex]
[tex]sin3x=0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]5-4sin^2x=0[/tex]
[tex]sin3x=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3x=k\pi[/tex] [tex]/:3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\frac{k\pi}{3 }[/tex]
[tex]5-4sin^2x=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin^2x=\frac{5}{4 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sinx=\pm\frac{\sqrt5}{2 }\notin [-1;1][/tex], не е решение...
П.П. За това уравнение не съм много сигурен... Поправяйте!

[Martin Nikovski]

4. [tex]2cotg4x-cotg2x=tgx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel2.\frac{cotg^22x-1}{\cancel2cotg2x } -cotg2x=tgx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\cancel{cotg^22x}-1-\cancel{cotg^22x}}{cotg2x }=tgx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]-\frac{1}{cotg2x }=tgx[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx+tg2x=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx+\frac{2tgx}{1-tg^2x } =0[/tex] [tex]/.(1-tg^2x)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx-tg^3x+2tgx=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tg^3x-3tgx=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx(tg^2x-3)=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx=0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]tg^2x-3=0[/tex]
[tex]tgx=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=k\pi[/tex]
[tex]tg^2x-3=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]tgx=\pm \sqrt3[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x=\pm \frac{\pi}{3 }+k\pi[/tex]
Обединението от тези решения е [tex]x=\frac{\pi}{3 }+\frac{k\pi}{3 }[/tex]
П.П. Да не забравяме, че функцията [tex]tg[/tex] е дефинирана при [tex]x\ne \frac{\pi}{2 }(2k+1)[/tex]. Ако някое от решенията е от този вид, го изключваме. В случая всички решения удовлетворяват условието...

[blqblq16]

помогнете за тази задача : sin4α\frac{}{ } 1+cos4 . cos2α\frac{}{ } 1 +cos2α . cos\alpha 1 + cos α