[tex]sinxcosx-sinx-cosx+m=0[/tex]

[Гост]

За кои стийности на реалния параметър m уравнението [tex]sinxcosx-sinx-cosx+m=0[/tex] има поне едно реално решение?

[nikola.topalov]

Да разгледаме функциите [tex]f(x)=\sin x\cos x-\sin x-\cos x[/tex] и [tex]g(x)=-m[/tex]. Полагаме $$t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$$ и оттук намираме $$\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$$ Образуваме нова функция [tex]h(t)=-t+\dfrac{t^2-1}{2}[/tex], за която е в сила $$\max\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x)=\max\limits_{\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}}h(t)$$ и съответно $$\min\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x)=\min\limits_{\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}}h(t)$$ Първата производна [tex]h'(t)=t-1[/tex] се анулира в [tex]t=1[/tex] и понеже [tex]h(t)[/tex] е намаляваща в [tex](-\infty,1)[/tex] и е растяща в [tex](1,+\infty)[/tex], то $$\min\limits_{\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}}h(t)=h(1)=-1$$ За максимума пък имаме $$\max\limits_{\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}}h(t)=\max\{h(-\sqrt{2}),h(\sqrt{2})\}=h(-\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$$ следователно [tex]\min\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x)=-1[/tex] и [tex]\max\limits_{x\in\mathbb{R}} f(x)=\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}[/tex]. За да има поне едно решение уравнението [tex]f(x)=g(x)[/tex], то графиките на двете функции трябва да се пресичат поне веднъж. Това ще стане, когато $$-1\leq g(x)\leq \dfrac{1}{2}+\sqrt{2}$$ т.е. за $$-\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}\leq m\leq 1$$