Интересна задачка

[Гост]

Да се намерят всички реални числа k, за които стойността на израза [tex]cos^{2 } \alpha[/tex] [tex]+ cos^{2 } \beta[/tex] + [tex]cos^{2 } ( \alpha + \beta)[/tex] [tex]-kcos \alpha cos \beta cos( \alpha + \beta)[/tex] не зависи от стойностите на [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

[peyo]

Да се намерят всички реални числа k, за които стойността на израза [tex]cos^{2 } \alpha[/tex] [tex]+ cos^{2 } \beta[/tex] + [tex]cos^{2 } ( \alpha + \beta)[/tex] [tex]-kcos \alpha cos \beta cos( \alpha + \beta)[/tex] не зависи от стойностите на [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

Тук предполагам идеята е с доста тригонометрични преобразования и с избиране на подходяща стойност на k, този израз да стане константа. Да видим дали можем да решим заачата по-лесно със sympy.
Да разгледаме този израз като 3D функциа на 2 променливи. Тогава това ще е някаква заоблена повърхност за повечето стойности на k. Но ще има такава стойност на k при която повърхнината ще се превърне в съвсем плоска навсякъде еднакво висока равнина. Как да намерим това k? Ще използваме това, че в този случай частните производни навсякъде ще бъдат 0. Да видим:

In [136]: var("a,b,k")
...: F = cos(a)**2+cos(b)**2+cos(a+b)**2 - k*cos(a)*cos(b)*cos(a+b)
...: F
Out[136]: -k*cos(a)*cos(b)*cos(a + b) + cos(a)**2 + cos(b)**2 + cos(a + b)**2

In [137]: solve(F.diff(a),k)
Out[137]: [2]

In [138]: solve(F.diff(b),k)
Out[138]: [2]

Ok, при k=2 получихме търсеното плато.