Да се докаже, че триъгълник е правоъгълен...

[KOPMOPAH]

... ако за ъглите му е изпълнено$$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma=2$$

[Davids]

Първо, представяме дясната страна:
$2 = 1 + 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\beta + \cos^2\beta$

Оттам даденото придобива вида:
$\sin^2\gamma = \cos^2\alpha + \cos^2\beta$

Понеже сме в триъгълник, то $\sin\gamma = \sin(\pi - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Значи:

$\sin^2\gamma = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta = \cos^2\alpha + \cos^2\beta$
$\Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta = \cos^2\alpha(1 - \sin^2\beta) + \cos^2\beta(1 - \sin^2\alpha)$

В дясната страна ползваме тъждеството $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ и получаваме:

$2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta = \cos^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\beta\cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha\cos^2\beta$

$\Rightarrow \sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta = \cos^2\alpha\cos^2\beta$

Понеже сме в тръгълник, то $\alpha, \beta \in (0, \pi)$, и е ясно, че $\sin\alpha > 0$ и ако $\cos\alpha = 0 $, то $ \alpha = \frac{\pi}{2}$. Аналогично и за $\beta$. В такъв случай директно имаме своя правоъгълен триъгълник.

Нека сега и двата косинуса не са 0. Тогава можем да разделим двете страни на $\cos^2\alpha\cos\beta\sin\beta$, получавайки:

$\tg\alpha = \cotg\beta$

Единствено решение за ъгли на триъгълник е $\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$, което е именно третият случай, в който триъгълникът ни е правоъгълен, а именно при $\gamma = \frac{\pi}{2}$.

[Евва]

Преди сме доказвали ,че :
[tex]sin^{2 } \alpha+sin^{2} \beta+sin^{2} \gamma[/tex]=2+2.cos[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\beta[/tex]cos[tex]\gamma[/tex]

Даденото придобива вида :
2+2.cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex]=2

2cos[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\beta[/tex].cos[tex]\gamma[/tex]= 0 [tex]\Rightarrow[/tex] Поне единият косинус е равен на нула [tex]\Rightarrow[/tex] този ъгъл е прав [tex]\Rightarrow[/tex]

Триъгълникът е правоъгълен .