Да се докаже!

[Гост]

Ако а , б , у - са ъгли в триъгълник , докажете , че :

кос(а) + кос(б) + кос(у) = 1 + 4.син(а/2).син(б/2).син(у/2)

[S.B.]

Ако а , б , у - са ъгли в триъгълник , докажете , че :

кос(а) + кос(б) + кос(у) = 1 + 4.син(а/2).син(б/2).син(у/2)

[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \beta + \gamma = 180 ^\circ - \alpha[/tex]

[tex]\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma[/tex] [tex]= 1 + 4\sin \frac{ \alpha }{2}\sin \frac{ \beta }{2}\sin \frac{ \gamma }{2}[/tex]

[tex]\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma =[/tex]

[tex]= \cos \alpha + 2\cos \frac{ \beta + \gamma }{2}\cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= \cos \alpha + 2\cos \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} \cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 1 - 1 + \cos \alpha + 2\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2})\cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 1 - (1 -\cos \alpha) + 2\sin \frac{ \alpha }{2} \cos \frac{ \beta - \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 1 - 2 \sin^{2 } \frac{ \alpha }{2} + 2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \beta- \gamma }{2} =[/tex]

[tex]= 1 - 2\sin \frac{ \alpha }{2} (\sin \frac{ \alpha }{2} - \cos \frac{ \beta - \gamma }{2}) =[/tex]

[tex]= 1 - 2\sin \frac{ \alpha }{2}[\cos(90 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) - \cos \frac{ \beta - \gamma }{2}] = 1 - 2\sin \frac{ \alpha }{2}(\cos \frac{180 ^\circ - \alpha }{2} - \cos \frac{ \beta - \gamma }{2} ) =[/tex]

[tex]= 1 + 4\sin \frac{ \alpha }{2} \sin \frac{180 ^\circ - \alpha + \beta - \gamma }{4}\sin \frac{180 ^\circ - \alpha - \beta + \gamma }{4} =[/tex]

[tex]= 1 +4\sin \frac{ \alpha }{2}\sin \frac{180 ^\circ + \beta - ( \alpha + \gamma) }{4}\sin \frac{180 ^\circ + \gamma - ( \alpha + \beta) }{4} =[/tex]

[tex]= 1 + 4\sin \frac{ \alpha }{2}\sin \frac{180 ^\circ + \beta - (180 ^\circ - \beta )}{4} \sin \frac{180 ^\circ + \gamma -(180 ^\circ - \gamma) }{4} =[/tex]

[tex]= 1 + 4\sin \frac{ \alpha }{2} \sin \frac{2 \beta }{4}\sin \frac{2 \gamma }{4} =[/tex]

[tex]= 1 + 4\sin \frac{ \alpha }{2}\sin \frac{ \beta }{2} \sin \frac{ \gamma }{2}[/tex]

[Гост]

мерси.
Намирам ги за трудни тези задачи.

Сега не мога да докажа , ако а , б и у са ъгли в триъгълник
да се докаже , че :

син^2(a) + син^2(б) + син^2(у) = 2(1 - кос(а).кос(б).кос(у) )