Тригонометрични задачи с повишена трудност

[Winner7337]

1 зад[tex]4^{ log_{0,5}(sin^{2}x+\sqrt{3}.sinx.cosx+2) } = \frac{1}{9 }[/tex]
2 зад[tex]\frac{\sqrt{3}tgx+1 }{cos2x } =4[/tex]
3 зад За кои стойностви на параметъра m уравнението [tex]sin^{4}x + cos^{4}x=m[/tex] има решение? Да се намери решението при:
a)[tex]m=\frac{5}{ 8}[/tex] и б) [tex]m=\frac{1}{3 }[/tex]

[martin123456]

1
логаритмуваме при основа 4 и ползваме, че [tex]\log_{4}\frac{1}{9}=\log_{0.5}{3}[/tex]. Получаваме [tex]\sin^2{x}+\sqrt{3}\sin{x}\cos{x}-1=0[/tex]. виждаме, че ако последното има решение, то и уравнението в условието е дефинирано. последното [tex]\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin{x}\cos{x}-\cos^2{x}=0 \Leftrightarrow \cos{x}(\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x})=0[/tex], т.е. решенията са решенията на всяка едно от уравненията [tex]\cos{x}=0[/tex] и [tex]ctgx=\sqrt{3}[/tex].

[martin123456]

2
при дадени деф множество [tex]\cos{2x} \ne 0[/tex]. Използваме [tex]\cos{2x}=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}[/tex] и полагаме [tex]tgx=t[/tex]. уравнението става [tex]\sqrt{3}t^3+5t^2+\sqrt{3}t-3=0[/tex]. Забелязва, че то има корен [tex]-\sqrt{3}[/tex]. значи едно решение е [tex]tgx=-\sqrt{3}[/tex]. сега разделяме [tex]\sqrt{3}t^3+5t^2+\sqrt{3}t-3[/tex] на [tex]t+\sqrt{3}[/tex] и получаваме [tex]\sqrt{3}t^2+t-\frac{\sqrt{3}}{2}=0[/tex]. тук получавам корени [tex]\frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2\sqrt{3}}[/tex].

[martin123456]

3.
Уравнението ни е [tex]\Leftrightarrow (\sin^2{x}+\cos^2{x})^2-2\sin^2{x}\cos^2{x}=m \Leftrightarrow 2-2m=\sin^2{2x}[/tex]. последното уравнение знаeм има решение [tex]\Leftrightarrow 2-2m \in [0,1] \Leftrightarrow m \in [\frac{1}{2},1][/tex].
a) [tex]\frac{5}{8} \in [\frac{1}{2},1][/tex] значи имаме решение. От горе уравнението ни е [tex]\Leftrightarrow 2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}=\sin^2{2x} \Leftrightarrow \sin{2x}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
b) [tex]\frac{1}{3} \not \in [\frac{1}{2},1] \Rightarrow \empty[/tex]