Тригонометрично уравнение

[Гост]

2+cos² 8x+cos² 2x = 2cos 8xcos 2x+√3sinx+cosx

[KOPMOPAH]

По-правилното е да се каже "тригонометрично уравнение и някакъв израз, който е недовършен", а по възпитаното е да има и няколко думи по въпроса.

[S.B.]

2+cos² 8x+cos² 2x = 2cos 8xcos 2x+√3sinx+cosx

[tex]2 + \cos^{2 }8x + \cos^{2 }2x = 2\cos 8x\cos 2x + \sqrt{3}\sin x + \cos x[/tex]

[tex]2 + \cos^{2 }8x - 2\cos8x\cos2x + \cos^{2 }2x = \sqrt{3}\sin x + \cos x[/tex]

[tex]2 + (\cos 8x - \cos 2x)^{2 } = \sqrt{3}\sin x+ \cos x[/tex]

[tex]2 + ( - 2\sin \frac{8x + 2x}{2} \sin \frac{8x - 2x}{2}) ^{2 } = \sqrt{3}\sin x + \cos x[/tex]

[tex]2 + 4 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sqrt{3}\sin x + \cos x | : 2[/tex]

[tex]1 + 2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x[/tex]

[tex]1 + 2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin x\cos \frac{ \pi }{6} + \cos x\sin \frac{ \pi }{6}[/tex]

[tex]1 + 2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin(x + \frac{ \pi }{6})[/tex]

[tex]2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin (x + \frac{ \pi }{6} ) - 1[/tex]

[tex]2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin(x + \frac{ \pi }{6}) - \sin \frac{ \pi }{2}[/tex]

[tex]2 (\sin 5x\sin 3x)^{2 } = 2\sin \frac{x + \frac{ \pi }{6} - \frac{ \pi }{2} }{2} \cos \frac{x + \frac{ \pi }{6}+ \frac{ \pi }{2} }{2}[/tex]

[tex]2 (\sin 5x\sin 3x) ^{2 } = 2 \sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})\cos( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{3})[/tex]

[tex](sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})\sin[ \frac{ \pi }{2} - ( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{3})][/tex]

[tex](\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})\sin( \frac{ \pi }{6} - \frac{x}{2} )[/tex]

[tex](\sin 5x\sin 3x)^{2 } = \sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6}).[ - \sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})][/tex]

[tex](\sin 5x\sin 3x)^{2 } = - \sin^{2 }( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6})[/tex]

[tex](\sin 5x\sin 3x)^{2 } + \sin^{2 }( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6}) = 0[/tex]

Получи се, че сумата от квадратите на двата израз е $=0$, което е възможно само тогава,когато съществува $x$, който да ги анулира едновременно.
В случая [tex]\sin5x\sin 3x = 0[/tex] за $x = 0$ , [tex]\sin( \frac{x}{2} - \frac{ \pi }{6}) = 0[/tex] за [tex]x = \frac{ \pi }{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] няма стойност на $x$ ,която да анулира едновременно и двата израза.
[tex]\Rightarrow[/tex] Така зададеното уравнението няма решение.