Съставяне на уравнение

[Гост]

Здравейте, може ли помощ за решаване за следната задача. Дали е с приложение на формулите на Виет:
Дадено е уравнението: x^2+px+q=0 с корени x1 и x2. Ако x1=tg[tex]\alpha[/tex]/2, x2=tg [tex]\beta[/tex]b/2, да се състави уравнение с корени у1=sin[tex]\alpha[/tex] и у2=sin[tex]\beta[/tex].

[KOPMOPAH]

Дадено е уравнението: $x^2+px+q=0$ с корени $x_1$ и $x_2$. Ако $x_1=\tg\frac{\alpha}2$, $x_2=\tg\frac{\beta}2$, да се състави уравнение с корени $y_1=\sin\alpha$ и $y_2=\sin\beta$.

Използваме, че:

$\sin \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},~~\sin \beta= \frac{2tg\frac{\beta}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\beta}{2}}\Rightarrow y_1=\frac{2x_1}{1+x_1^2},~~y_2=\frac{2x_2}{1+x_2^2}$

$y_1+y_2=\frac{2x_1}{1+x_1^2}+\frac{2x_2}{1+x_2^2}=\frac{2x_1+2x_1x_2^2+2x_2+2x_2x_1^2}{\left(1+x_1^2\right)\left(1+x_2^2\right)}=\frac{2(x_1+x_2)+2x_1x_2(x_1+x_2)}{1+x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2}=$

$=\frac{2(x_1+x_2)+2x_1x_2(x_1+x_2)}{1+x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+x_1^2x_2^2-2x_1x_2}=\frac{2(x_1+x_2)+2x_1x_2(x_1+x_2)}{1+(x_1+x_2)^2+x_1^2x_2^2-2x_1x_2}$

Използвайки формулите на Виет последният израз придобива вида:

$y_1+y_2=\frac{2(-p)+2q(-p)}{1+(-p)^2+q^2-2q}=\cdots=-2\cdot\frac{q+1}{p^2+(q-1)^2}$

$y_1\cdot y_2=\frac{2x_1}{1+x_1^2}\cdot\frac{2x_2}{1+x_2^2}=\frac{4x_1x_2}{1+x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2}=\cdots=4\cdot\frac{q}{p^2+(q-1)^2}$

Следователно $y_1$ и $y_2$ са корени на уравнението $y^2+p_1y+q_1=0$, където $p_1=-2\cdot\frac{q+1}{p^2+(q-1)^2}$ и $q_1=4\cdot\frac{q}{p^2+(q-1)^2}$.

Търсеното уравнение изглежда така:

$~~~~~~~~\boxed{(p^2+(q-1)^2)y^2-2(q+1)y+4q=0}$

[Matty_23]

Много благодаря за подробното решение. Имам един въпрос към него-дали аз не бъркам някъде, но къде изчезва параметъра p в числителя при заместването с формулата на Виет в y1+y2=2(-p)+2q(-p)/p^2+(q-1)^2=
=-2p(1+q)/p^2+(q-1)^2

Много благодаря!

[KOPMOPAH]

Съвсем резонен въпрос! Пропуснал съм ги... Ето ги правилните изрази:


$y_1+y_2=\frac{2(-p)+2q(-p)}{1+(-p)^2+q^2-2q}=\cdots=-2\red {p}\cdot\frac{q+1}{p^2+(q-1)^2}$

$y_1\cdot y_2=\frac{2x_1}{1+x_1^2}\cdot\frac{2x_2}{1+x_2^2}=\frac{4x_1x_2}{1+x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2}=\cdots=4\red {p^2}\cdot\frac{q}{p^2+(q-1)^2}$