Тригонометрична задача

[Гост]

Ако tg[tex]\alpha[/tex] = 2[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намери стойността на sin ([tex]\frac{\pi}{6}+2 \alpha)[/tex]

[Гост]

[tex]\frac{1}{26}[/tex] ли е отговорът?

[Гост]

Може ли да попитам откъде е взета задачата?

[Гост]

Може ли да попитам откъде е взета задачата?

Примерни теми за кандидатстудентски изпит - ТУ

[Гост]

[tex]\frac{1}{26}[/tex] ли е отговорът?

Да! Може ли да предоставите и решение?

[S.B.]

Ако tg[tex]\alpha[/tex] = 2[tex]\sqrt{3}[/tex], да се намери стойността на sin ([tex]\frac{\pi}{6}+2 \alpha)[/tex]

[tex]\tg\alpha = 2 \sqrt{3} > 0 \Rightarrow \alpha \in (0; \frac{ \pi }{2})[/tex] или [tex]\alpha \in (2 \pi, \frac{3 \pi }{2})[/tex] ,където функциите [tex]\sin[/tex] и [tex]\cos[/tex] имат еднакви знаци.

[tex]\begin{array}{|l} \tg \alpha = 2 \sqrt{3} \\ \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = 2 \sqrt{3} \\ \sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \sin \alpha = 2 \sqrt{3}\cos \alpha \\12 \cos^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \end{array}[/tex]

Решаваме системата и получаваме:

[tex]\cos^{2 } \alpha = \frac{1}{13} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{ \sqrt{13} }{13},\sin \alpha = \pm \frac{2 \sqrt{39} }{13} ,\sin^{2 } \alpha = \frac{12}{13}[/tex]

[tex]\sin ( \frac{ \pi }{6} + 2 \alpha ) =[/tex]
[tex]= \sin \frac{ \pi }{6}\cos 2 \alpha + \cos \frac{ \pi }{6}\sin 2 \alpha = \frac{1}{2}\cos 2 \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2}\sin 2 \alpha =[/tex]

[tex]= \frac{1}{2} ( cos^{2 } \alpha - \sin^{2 } \alpha ) + \frac{ \sqrt{3} }{2}.2\sin \alpha.\cos \alpha =[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}( \frac{1}{13} - \frac{12}{13}) + \frac{ \sqrt{3} }{2}. 2 \frac{2 \sqrt{39} }{13}. \frac{ \sqrt{13} }{13} =[/tex]

(Тук съобразяваме,че знаците на [tex]\sin[/tex] и [tex]\cos[/tex] са еднакви!)

[tex]= - \frac{11}{26} + \frac{12}{26} =[/tex]

[tex]= \frac{1}{26}[/tex]

[Гост]

S.B, може ли да Ви попитам дали използвате някаква програма (приложение) за изписване на решенията?

[S.B.]

S.B, може ли да Ви попитам дали използвате някаква програма (приложение) за изписване на решенията?

Използвам La Tex

[Евва]

(2 начин) sin(30[tex]^\circ[/tex]+2[tex]\alpha[/tex]) =?

=sin30[tex]^\circ[/tex]cos2[tex]\alpha[/tex]+cos30[tex]^\circ[/tex]sin2[tex]\alpha[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{1 - tg^{2 } \alpha }{1+ tg^{2 } \alpha }[/tex] +[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex].[tex]\frac{2tg \alpha }{1+ tg^{2 } \alpha }[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{1-12}{1+12}[/tex]+[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex].[tex]\frac{4 \sqrt{3} }{1+12 }[/tex]=

= - [tex]\frac{11}{26} + \frac{12}{26} = \frac{1}{26}[/tex]