Тригонометрични изрази

[Гост]

Добър ден, бихте ли помогнали с тези две тригонометрични задачи?
1. Представете като произведение: 1 - sinx - cosx
2. Представете като произведение: sinx + sin2x + sin3x + sin4x

[ammornil]

Добър ден, бихте ли помогнали с тези две тригонометрични задачи?
1. Представете като произведение: 1 - sinx - cosx
2. Представете като произведение: sinx + sin2x + sin3x + sin4x

[tex]\\(1) \\ 1-\sin{x}-\cos{x}=1-2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}-\left(1-2\sin^{2}{\frac{x}{2}}\right)=\cdots \\ \quad \\ (2) \\ \boxed{\quad \sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \quad} \\ \quad \\ (\sin{4x}+\sin{x})+(\sin{3x}+\sin{2x})=2\sin{\frac{4x+x}{2}}\cos{\frac{4x-x}{2}}+2\sin{\frac{3x+2x}{2}}\cos{\frac{3x-2x}{2}}=2\sin{\frac{5x}{2}}\left(\cos{\frac{3x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right) \\ \boxed{\quad \cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \quad} \\ \quad \\ 2\sin{\frac{5x}{2}}\left(\cos{\frac{3x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}\right)=2\sin{\frac{5x}{2}}\cdot{}2\cos{\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}}\cos{\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}}=4\sin{\frac{5x}{2}}\cos{\frac{2x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=4\sin{\frac{5x}{2}}\cos{x}\cos{\frac{x}{2}}[/tex]

[Гост]

$1-sinx-cosx=(1-cosx)-sinx=2sin^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=\\=2sin\frac{x}{2}\left(sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)=2sin\frac{x}{2}\left(sin\frac{x}{2}-sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)\right)=\\=4sin\frac{x}{2}sin\frac{\frac{x}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)}{2}cos\frac{\frac{x}{2}+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)}{2}=\\=4sin\frac{x}{2}sin\frac{x-\frac{\pi}{2}}{2}cos\frac{\pi}{4}=4sin\frac{x}{2}sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}sin\frac{x}{2}sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$

[KOPMOPAH]

"Представете като произведение" навремето се казваше "представете във вид, удобен за логаритмуване". Това беше във времето, когато всеки ученик, с изключение на най-безнадеждните, знаеше как да ползва четиризначните математически таблици, изкуство забравено и непостижимо днес даже и сред учениците от математическите гимназии.

[Гост]

Благодаря ви.