Въпрос

[antoniy]

Защо sinx = 0 e x=k[tex]\pi[/tex] ? Ако може някой да ми докаже как се стига до там като при [tex]\alpha \in[/tex] [-1;1] числата за sinx=[tex]\alpha[/tex] са [tex]\begin{cases} x = \alpha + 2k \pi \\ x= \pi - \alpha + 2k \pi \end{cases}[/tex]

[pal702004]

При $\alpha=0$ от системата получаваме:

$\begin{cases} x=\pi(2k)\\x=\pi(2k+1) \end{cases}$

От първото се получава, че решение е $\pi$, умножено на кое да е цяло четно число. От второто се получава, че решение е също така и $\pi$, умножено на кое да е нечетно цяло число. След дълго мислене стигаме до гениалното прозрение: Ами това означава, че решение е $\pi$, умножено на кое да е цяло число.

[ammornil]

Защо sinx = 0 e x=k[tex]\pi[/tex] ? Ако може някой да ми докаже как се стига до там като при [tex]\alpha \in[/tex] [-1;1] числата за sinx=[tex]\alpha[/tex] са [tex]\red{\begin{cases} x = \alpha + 2k \pi \\ x= \pi - \alpha + 2k \pi \end{cases}}[/tex]

$\\[6pt]$Това записване е невярно. Ако $\sin{x}=\alpha$, то $\begin{cases} x= \arcsin{\alpha} \pm{2k\pi} \\ x= \pi - \arcsin{\alpha} \pm{2k\pi} \end{cases}, \hspace{0.4em}\forall{k}\in{\mathbb{N_{0}}}$. В случая $\alpha\in{[-1;1]}$ е стойността на синуса, а не големина на ъгъл.$\\[12pt]$Когато $\alpha=0$ имаме $\sin{x}=0 \Rightarrow \begin{cases} x= \arcsin{(0)} \pm{2k\pi} \\ x= \pi - \arcsin{(0)} \pm{2k\pi} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x= 0 \pm{2k\pi} \\ x= \pi \pm{2k\pi} \end{cases}, \hspace{0.4em}\forall{k}\in{\mathbb{N_{0}}}\\[6pt]$Тези два израза могат да се обединят, защото преставляват четните произведения на $\dfrac{\pi}{2}$, $\Rightarrow \\[6pt] \begin{cases} x= 0 \pm{2k\pi} \\ x= \pi \pm{2k\pi} \end{cases}, \hspace{0.4em}\forall{k}\in{\mathbb{N_{0}}} \Leftrightarrow x= 2k\dfrac{\pi}{2} \pm{2k\pi}= k\pi \pm{2k{\pi}}, \hspace{0.4em}\forall{k}\in{\mathbb{N_{0}}}\\[12pt]$Когато е казано, че $x\in{[0; 2{\pi}]}$, тоест не е обобщен ъгъл, тогава в решението пропускаме $\pm{2k{\pi}}$.