Числова стойност на тригонометричен израз

[Гост]

Здравейте!

Попаднах в YouTube на една интересна задача за намиране числова стойност на тригонометричен израз:

Да се намери колко е $ctg9^\circ-ctg27^\circ-ctg63^\circ+ctg81^\circ$

Намерих стойността едва при третия опит за преобразуване, но иначе задачата не е много трудна. Успех!

[S.B.]

Здравейте!

Попаднах в YouTube на една интересна задача за намиране числова стойност на тригонометричен израз:

Да се намери колко е $ctg9^\circ-ctg27^\circ-ctg63^\circ+ctg81^\circ$

Намерих стойността едва при третия опит за преобразуване, но иначе задачата не е много трудна. Успех!

[tex]A = cotg 9 ^\circ - \cotg 27 ^\circ - \cotg 63 ^\circ + \cotg 81 ^\circ =[/tex]

[tex]=(\cotg 9 ^\circ + \cotg 81 ^\circ ) - (\cotg 27 ^\circ + \cotg 63 ^\circ) =[/tex]

[tex]= \frac{\sin(9 ^\circ + 81 ^\circ )}{\sin 9 ^\circ.\sin 81 ^\circ } - \frac{\sin(27 ^\circ + 63 ^\circ )}{\sin 27 ^\circ.\sin 63 ^\circ } =[/tex]

[tex]= \frac{\sin 90 ^\circ }{ \frac{1}{2}[\cos (9 ^\circ - 81 ^\circ)- \cos(9 ^\circ + 81 ^\circ )]} - \frac{\sin(27 ^\circ + 63 ^\circ) }{ \frac{1}{2}[\cos(27 ^\circ - 63 ^\circ) - \cos(27 ^\circ + 63 ^\circ) ]} =[/tex]

[tex]= \frac{2\sin90 ^\circ }{\cos(-72 ^\circ) - \cos 90 ^\circ } - \frac{2\sin 90 ^\circ }{\cos(-36 ^\circ) - \cos 90 ^\circ }[/tex]

$$ \Rightarrow A = 2( \frac{1}{\cos 72 ^\circ } - \frac{1}{\cos 36 ^\circ })$$


Сега се налага да се изчислят [tex]\cos 72 ^\circ[/tex] и [tex]\cos 36 ^\circ[/tex]
За целта построявам равнобедрения [tex]\triangle ABC[/tex] с ъгли при основата [tex]\angle A = \angle B = 72 ^\circ[/tex] и ъгъл при върха [tex]\angle C =36 ^\circ[/tex]

Без заглавие - 2025-04-11T182756.297.png (263.14 KiB) Прегледано 149 пъти

$AM$ е ъглополовяща на [tex]\angle A , M \in BC[/tex]
[tex]\triangle ABM \approx \triangle ABC[/tex] (имат равни ъгли), а [tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен.([tex]\angle CAM = \frac{1}{2} \angle A \Rightarrow \angle CAM = 36 ^\circ)[/tex]
Нека [tex]AB = AM = CM = x , BM = y \Rightarrow AC = BC = x + y[/tex]
Построявам [tex]MN \bot AC , N \in AC \Rightarrow CN = \frac{x+ y}{2}[/tex]
Построявам [tex]AL \bot BM , L \in BM \Rightarrow BL = \frac{y}{2}[/tex]

От [tex]\triangle CMN \rightarrow\displaystyle \frac{CN}{CM} = \cos 36 ^\circ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x+y}{2} }{x} = \cos 36 ^\circ[/tex]
$$ \Rightarrow \cos 36 ^\circ = \frac{1}{2}. \frac{x+y}{x}= \frac{1}{2}(1 + \frac{y}{x}) $$
От [tex]\triangle ABL \rightarrow \displaystyle\frac{BL}{AB}= \cos 72 ^\circ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{y}{2} }{x} = \cos72 ^\circ[/tex]
$$\Rightarrow \cos 72 ^\circ = \frac{1}{2}. \frac{y}{x}$$
[tex]\triangle ABC \approx \triangle ABM \Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{BM} \Leftrightarrow \frac{x + y}{x} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow 1 + \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0 \Leftrightarrow xy + y^{2 } - x^{2 } = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]y^{2 }+ xy - x^{2 } = 0 \Leftrightarrow ( \frac{y}{x}) ^{2 }+ \frac{y}{x} - 1 = 0[/tex]

Получи се хомогенно уравнение.
Нека [tex]\frac{y}{x} = t > 0[/tex] (защото и двата ъгъла,чийто косинуси търсим са остри)
[tex]t^{2 } + t -1 = 0 , D = 5 , t_{1 } = \frac{-1 + \sqrt{5} }{2}>0, t_{2 } = \frac{-1- \sqrt{5} }{2}<0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{-1 + \sqrt{5} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \cos 36 ^\circ = \frac{1}{2}(1 + \frac{-1 + \sqrt{5} }{2}) = \frac{1 + \sqrt{5} }{4} ,\cos 72 ^\circ = \frac{1}{2} \frac{-1 + \sqrt{5} }{2} = \frac{-1 + \sqrt{5} }{4}$$

Сега да се върнем към изчисляването на стойността на тригонометричния израз:
Както получих :
[tex]A = 2( \frac{1}{\cos 72 ^\circ } - \frac{1}{\cos 36 ^\circ } =[/tex]

[tex]= 2( \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{ \sqrt{5} -1}{4} } - \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{ \sqrt{5}+1 }{4} }) = 8 (\displaystyle \frac{ \sqrt{5}+ 1 - \sqrt{5} + 1 }{5-1}) = 8. \frac{2}{4}[/tex]
$$\Rightarrow A = 4$$

[Гост]

При втория опит и аз така започнах, но ми се видя много трудно и се отказах. За третия направих така:

$A=(ctg9^\circ-ctg27^\circ)-(ctg63^\circ-ctg81^\circ)$

$A=\frac{sin(9^\circ-27^\circ)}{sin9^\circ sin(-27^\circ)}-\frac{sin(63^\circ-81^\circ)}{sin63^\circ sin(-81^\circ)}$

$A=\frac{sin18^\circ}{sin9^\circ sin27^\circ}-\frac{sin18^\circ}{sin63^\circ sin81^\circ}$

$A=\frac{sin18^\circ}{sin9^\circ sin27^\circ}-\frac{sin18^\circ}{cos27^\circ cos9^\circ}$

$A=sin18^\circ\cdot\frac{cos9^\circ cos27^\circ-sin9^\circ sin27^\circ}{sin9^\circ cos9^\circ sin27^\circ cos27^\circ}$

$A=sin18^\circ\cdot\frac{cos(9^\circ+27^\circ)}{sin9^\circ cos9^\circ sin27^\circ cos27^\circ}$

$A=\frac{4.sin18^\circ.cos36^\circ}{2sin9^\circ cos9^\circ.2sin27^\circ cos27^\circ}$

$A=\frac{4.sin18^\circ.cos36^\circ}{sin18^\circ.sin54^\circ}=4\cdot\frac{cos36^\circ}{sin54^\circ}=4\cdot\frac{sin(90^\circ-36^\circ)}{sin54^\circ}=4\cdot\frac{sin54^\circ}{sin54^\circ}=4$

[Darina73]

[tex]cotg9^\circ +cotg81^\circ- (cotg27 ^\circ+cotg63 ^\circ[/tex]) =

=[tex]\frac{sin90 ^\circ }{sin9 ^\circ.sin81 ^\circ } - \frac{sin90 ^\circ }{sin27 ^\circ.sin63 ^\circ }[/tex] =

=[tex]\frac{1}{sin9 ^\circ.cos9 ^\circ } - \frac{1}{sin27 ^\circ.cos27 ^\circ }[/tex] = [tex]\frac{2}{sin18 ^\circ }- \frac{2}{sin54 ^\circ }[/tex] =

=[tex]\frac{2(sin54 ^\circ -sin18^\circ) }{sin18 ^\circ.sin54 ^\circ } =\frac{2.2cos \frac{72 ^\circ }{2} .sin\frac{36 ^\circ }{2} }{sin18 ^\circ.sin54 ^\circ }[/tex] =

=[tex]\frac{4cos36 ^\circ.sin18 ^\circ }{sin18 ^\circ .sin54^\circ } = \frac{4cos36 ^\circ }{sin(90 ^\circ-36 ^\circ ) }[/tex] =

=[tex]\frac{4cos36 ^\circ }{cos36 ^\circ }[/tex] = 4