Тригонометрично уравнение от втора степен

[Гост]

Дадено е уравнението: [tex]\sin^{2 } x + \sin^{2 }2x + \sin^{2 }3x =2[/tex]
Намерете всички решения принадлежащи на интервала [tex][ \frac{ \pi }{2} ; \pi ][/tex]

[S.B.]

Дадено е уравнението: [tex]\sin^{2 } x + \sin^{2 }2x + \sin^{2 }3x =2[/tex]
Намерете всички решения принадлежащи на интервала [tex][ \frac{ \pi }{2} ; \pi ][/tex]

[tex]\sin^{2 }x + \sin^{2 }2x + \sin^{2 }3x = 2[/tex]

За понижаване на степента използвам формулата [tex]\sin^{2 } \alpha = \frac{1 - \cos 2 \alpha }{2}[/tex] и получавам:

[tex]\frac{1 - cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 - \cos 6x}{2} = 2 \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + 1 - \cos 4x + 1 - \cos 6x = 4 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]-(\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x) = 1 \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = -1 \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + cos 6x +1 = 0[/tex]

[tex](\cos 2x + \cos 4x) + (\cos 6x + \cos 0 ^\circ) = 0[/tex]

[tex]2\cos \frac{2x + 4x}{2}.\cos \frac{2x - 4x}{2} + 2\cos \frac{6x + 0}{2}\cos \frac{6x - 0}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x.\cos(-x) + \cos^{2 }3x = 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\cos 3x(\cos x + \cos 3x) = 0 \Leftrightarrow \cos 3x.2\cos 2x.\cos (-x) = 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\cos 3x.\cos 2x.\cos x = 0 \Rightarrow[/tex]
[tex]\cos 3x = 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\cos 2x = 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\cos x = 0[/tex]

$$\cos \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = (2k + 1) \frac{ \pi }{2} $$
Съобразявам се с условието,че решенията трябва да принадлежат на [tex][ \frac{ \pi }{2} ; \pi][/tex] и получавам:

[tex]\cos x = 0 \Rightarrow x_{1 } = \frac{ \pi }{2} , \cos 2x = 0 \Rightarrow x_{2 } = \frac{3 \pi }{4} , \cos 3x = 0 \Rightarrow x_{3 } = \frac{5 \pi }{6}[/tex]