Намерете сумата

[estoyanovvd]

Намерете сумата на корените на уравнението [tex]3cotg^{2}x+8ctgx+3=0[/tex] , които са от интервала [tex][0;2\pi][/tex].

[martosss]

Аз залагам на 3п Така ли е, за да напиша решение.

[estoyanovvd]

Не!

[mkmarinov]

[tex]5 \pi[/tex] ?

[martosss]

Опа, вече и аз достигнах до 5п :]
умножаваме по [tex]\sin^2x\ne 0[/tex] и получаваме
[tex]4\sin(2x)=-3\Right \sin(2x)=-\frac{3}{4}[/tex]
Сега оттук имаме две решения:
[tex]2x=\alp+2k\pi\cup 2x-2\pi=\pi-\alp+2k\pi[/tex], където [tex]\sin\alp = -\frac{3}{4}[/tex].
Понеже [tex]\alp[/tex] е между п и 2п, то от втория ъгъл изваждаме един пълен период,
за да може неизвестната величина х да бъде в дадения интервал от 0 до 2п.
Сега за х получаваме:
[tex]x=\frac{\alp}{2}+k\pi\\x=\frac{3\pi}{2}-\frac{\alp}{2}+k\pi[/tex]
Тъй като [tex]\alp\in (\pi\; ; 2\pi )[/tex], то [tex]\frac{\alp}{2}\in (\frac{\pi}{2}\; ; \pi )[/tex], откъдето за всяко от горните две решения се получават две стойности на к, за които х е в интервала [0;2n]:
[tex]x_1=\frac{\alp}{2}\in (\frac{\pi}{2} \; \pi )\\x_2=\frac{\alp}{2}+\pi\in (\frac{3\pi}{2} \; 2\pi )\\x_3=\frac{3\pi}{2}-\frac{\alp}{2}\in (\frac{\pi}{2}\; ; \pi)\\x_4=\frac{5\pi}{2}-\frac{\alp}{2}\in (\frac{3\pi}{2}\; ; 2\pi)[/tex]
сега остана да образуваме сумата [tex]x_1+x_2+x_3+x_4[/tex]:
[tex]\frac{\alp}{2}+\frac{\alp}{2}+\pi+\frac{3\pi}{2}-\frac{\alp}{2}+\frac{5\pi}{2}-\frac{\alp}{2}=\pi+\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi}{2}=\fbox{5\pi}[/tex]