Тригонометрично неравенство

[prodanov]

[tex]6 - 10\cos x - \sin x \ge 0[/tex]

Уби ми времето тва неравенство, как се решава?

[ganka simeonova]

Защо не ползваш универсалната субстисуция:

[tex]tg{\frac{x}{ 2} }=t[/tex]

Тогава [tex]sinx=\frac{2t}{t^2+1 } ; cosx=\frac{1-t^2}{ t^2+1}[/tex]

[ptj]

[tex]6 - 10\cos x - \sin x \ge 0[/tex]

Уби ми времето тва неравенство, как се решава?

Може би отговора ще ти помогне да тръгнеш отзад напред (знаейки корените може да възстановиш уравнението).

[ganka simeonova]

[tex]6 - 10\cos x - \sin x \ge 0[/tex]

Уби ми времето тва неравенство, как се решава?

Може би отговора ще ти помогне да тръгнеш отзад напред (знаейки корените може да възстановиш уравнението).

Tочно това се получава с универсалната субстисуция, ptj.

[prodanov]

Кофти!

Задачата е: [tex]\sqrt{6 - 10cos x - sin x} < sin x - cos x[/tex] в [tex](-\pi, \pi)[/tex]

Свежда се до: [tex]\begin{tabular}{|l} 6 - 10cos x - sin x \ge 0 \\ sin x - cos x > 0 \\ 6 - 10cos x - sin x < sin^2x - 2sin x cos x + cos^2x\end{tabular}[/tex]

последните: [tex]x \in (\frac{\pi}4, \frac{\pi}3)[/tex]
първото: [tex]tg \frac x2 \in \frac{ 1 \mp \sqrt{65}}{16}[/tex]

Сега как да определя интервала на x от първото?

[ganka simeonova]

prodanov, моля те, за в бъдеще изписвай цялата задача!

[ptj]

Кофти!

Задачата е: [tex]\sqrt{6 - 10cos x - sin x} < sin x - cos x[/tex] в [tex](-\pi, \pi)[/tex]

Свежда се до: [tex]\begin{tabular}{|l} 6 - 10cos x - sin x \ge 0 \\ sin x - cos x > 0 \\ 6 - 10cos x - sin x < sin^2x - 2sin x cos x + cos^2x\end{tabular}[/tex]

последните: [tex]x \in (\frac{\pi}4, \frac{\pi}3)[/tex]
първото: [tex]tg \frac x2 \in \frac{ 1 \mp \sqrt{65}}{16}[/tex]

Сега как да определя интервала на x от първото?

Решението е:[tex]\frac{2}{tg \big(\frac{1+\sqrt{65} }{16 }\big) }\le x <\frac{\pi }{3 }[/tex]

Мини съм към универсална субституция, както те посъветва Ганка Симеонова. После рационализирай и търси корени...

[prodanov]

Не, нямам идея как го получи. Решавах прости задачки с тия субстанции, ноо нищо подобно.

[ptj]

Аз го получих чрез софтуер, но ако тръгна от отговора вероятно ще намеря разлагането за решението на задачата.

[mkmarinov]

Не, нямам идея как го получи. Решавах прости задачки с тия субстанции, ноо нищо подобно.

Получаваш уравнението:
[tex]6-10\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2} \ge 0[/tex]
Което е квадратно спрямо t. t=tg(x/2) => намираш интервалите за х оттук.

[prodanov]

Това ясно, изведох му отговора два поста нагоре. ptj ме обърка, щото [tex]tan^{-1}[/tex] е [tex]arctan[/tex] ,а не [tex]\frac1{tan}[/tex]

Задачата не може да има такъв отговор. Това е задача от СУ 2008, [tex]arctg[/tex] не влиза в конспекта.

[mkmarinov]

В среден курс се пише (ако например си получил, че [tex]tg(x) \in ( \frac{1}{3}; 1 )[/tex]) [tex]x \in (\alpha +k\pi, \frac{\pi}{4} +k\pi )[/tex], където [tex]\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})[/tex] и [tex]tg(\alpha)=\frac{1}{3}[/tex]. Като определението на алфа е точно дефиницията на аркустангенс от 1/3.

[ptj]

Това ясно, изведох му отговора два поста нагоре. ptj ме обърка, щото [tex]tan^{-1}[/tex] е [tex]arctan[/tex] ,а не [tex]\frac1{tan}[/tex]

Задачата не може да има такъв отговор. Това е задача от СУ 2008, [tex]arctg[/tex] не влиза в конспекта.

Да, грешката е моя. Неправилно интерпретирах отговора. Трябваше да е:
[tex]2tan^{-1} \big(\frac{1+\sqrt{65} }{16 }\big) \le x <\frac{\pi }{3 }[/tex]

Тъй като функцията [tex]tg (x)[/tex] е еднозначно определена и растяща в интервала [tex](-\frac{\pi }{2 };\frac{\pi }{2 })[/tex], може да дадеш отговора на задачата като неравенство относно тангенса. Това е напълно допустим и определен отговор и всяка една комисия би го приела.