2 тригонометрични задачки

[ImUrNightMare]

Задача 1 :cos П/7 - cos 2П/7 + cos 3П/7 = ?

Задача 2 : .Пресметнете cos (x+y)/2 , ако cos(x-y/2)=1/9 и sin(x/2-y)=2/3

2-рата почти съм я решил само едно нещо не ми е ясно : cos (x+y)/2=cos [(x-y/2)-(x/2-y)]= cos(x-y/2)*cos(x/2-y) + sin(x-y/2)*sin(x/2-y) = cos(x/2-y)/9 +2*sin(x-y/2)/3 ... Така до тук добре само остава да намерим cos(x/2-y)=2/3 и sin(x-y/2) , но как да разбера с какъв знак са ?

[kerry]

Първата я мъчих цял ден с тригонометрични формули и преобразувания и до никъде не стигнах.

Накрая я реших с комплексни числа.

Нека [tex]z_1=e^{i \frac{\pi}{7}} ,\;z_2=e^{i \frac{3 \pi}{7}} ,\; z_3=e^{i \frac{5 \pi}{7}} ,\;z_4=e^{i \frac{7 \pi}{7}} ,\;z_5=e^{i \frac{9 \pi}{7}} ,\;z_6=e^{i \frac{11 \pi}{7}} ,\;z_7=e^{i \frac{13 \pi}{7}}[/tex]

Това са седемте корена на уравнението [tex]z^7+1=0[/tex]

[tex]z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6+z_7=0[/tex] (Формула на Виет)

Сумата на реалните компоненти също е нула.

[tex]cos {\frac{\pi}{7}}+ cos {\frac{3\pi}{7}}+cos {\frac{5\pi}{7}}+cos {\frac{7\pi}{7}}+cos {\frac{9\pi}{7}}+cos{ \frac{11\pi}{7}}+cos {\frac{13\pi}{7}}=0[/tex]

[tex]cos{\frac{13\pi}{7}} = cos{\frac{\pi}{7}}[/tex]

[tex]cos{\frac{11\pi}{7}} = cos{\frac{3\pi}{7}}[/tex]

[tex]cos{\frac{9\pi}{7}} = cos{\frac{5\pi}{7}} = -cos{\frac{2\pi}{7}}[/tex]

[tex]cos{\frac{7\pi}{7}} =-1[/tex]


[tex]2 \( cos {\frac{\pi}{7}}+ cos {\frac{3\pi}{7}}-cos {\frac{2\pi}{7}} \)-1=0[/tex]

[tex]cos {\frac{\pi}{7}}- cos {\frac{2\pi}{7}}+cos {\frac{3\pi}{7}} = \frac{1}{2}[/tex]

[ins-]

Задачата би могла да се реши и без комплексни числа.
Ако умножим и разделим израза с [tex]2\sin{\frac{\pi}{7}}[/tex]

[inveidar]

Задачата би могла да се реши и без комплексни числа.
Ако умножим и разделим израза с [tex]2\sin{\frac{\pi}{7}}[/tex]

По-скоро с [tex]2\cos{\frac{\pi}{14}}[/tex] ?!

[ImUrNightMare]

За комплексни числа нищо не знам, само съм чувал за тях а като разделим на нещо от тия дето казахте как ще се реши? напишете до край решението ако е възможно . Мерси все пак , че се занимавате с моите глупости

[ImUrNightMare]

Задачата би могла да се реши и без комплексни числа.
Ако умножим и разделим израза с [tex]2\sin{\frac{\pi}{7}}[/tex]

Мерси много златен си... реших я така. Сега оставам само с 1 въпрост имаме дадено :

cos(α-β/2)= 1/9 sin(α/2-β)=2/3 . Как мога да определя дали sin(α-β/2) и cos(α/2-β) ще са положителни или отрицателни ? Плс Помогнете

[ins-]

Какви стъпки предприемаш, за да решиш втората задача?

[ImUrNightMare]

Какви стъпки предприемаш, за да решиш втората задача?

2-рата почти съм я решил само едно нещо не ми е ясно : cos (x+y)/2=cos [(x-y/2)-(x/2-y)]= cos(x-y/2)*cos(x/2-y) + sin(x-y/2)*sin(x/2-y) = cos(x/2-y)/9 +2*sin(x-y/2)/3 ... Така до тук добре само остава да намерим cos(x/2-y) и sin(x-y/2) , но как да разбера с какъв знак са ?

[ins-]

Сигурен ли си, че нищо не ти е дадено в условието за x и y?
Ако не е - единственото нещо, което ми идва наум е да използваш тригонометричната окръжност и фокуси с алгебрата.
http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0% ... nction.png
Като се "абстрахирах" от периодите на sin и cos ми дойде това наум.
0<α/2-β<180
-90<α-β/2<90
Вероятно бихме могли да използваме и равенствата:
x/2-y=(x+y)/2-y
x-y/2=(x+y)/2-x
Последното нещо дето се сетих е да се опиташ да сметнеш и sin(x+y)/2 при всички комбинации на знаците и да се опиташ да елиминираш невъзможните комбинации, ако има такива.
Това са само идеи, притиснат съм от времето и затова пиша така.

[ImUrNightMare]

След много смятаници отхвърлих възможността и 2-те да са отрицателни, за всичко друго не срещнах противоречие, а като отговор е записано числото, което се получава когато всичко е положително. Ако някой може да ми помогне да изключим и другите 2 варианта ще е супер