Неравенство 3cos^{2}x.sinx-sin^{2}x<1/2

[inveidar]

Решете неравенството
[tex]3cos^{2}x.sinx-sin^{2}x<\frac{1}{2}[/tex].

[inveidar]

Нека [tex]u=\sin x[/tex] и неравенството се превръща в [tex]3u^3+u^2-3u+\frac 12>0[/tex]

Нека [tex]f(x)=3x^3+x^2-3x+\frac 12[/tex]. Имаме [tex]f(-1)>0[/tex] , [tex]f(0)>0[/tex] [tex]f(\frac 12)<0[/tex] и [tex]f(1)>0[/tex]
Тогава уравнение [tex]f(x)=0[/tex] има три реални корена [tex]r_1<-1<0<r_2<\frac 12<r_3<1[/tex]

И резултатът е [tex]-1\le \sin x <r_2[/tex] or [tex]r_3<\sin x \le 1[/tex]

Решаването на [tex]3x^3+x^2-3x+\frac 12=0[/tex] е абсолютно стандартно :

Нека [tex]x=\frac{4\sqrt 7 y-1}9[/tex] и уравнението се свежда до[tex]4y^3-3y=-\frac{409}{224\sqrt 7}\sim -0.690...[/tex]

Нека сега [tex]u=\arccos -\frac{409}{224\sqrt 7}[/tex] и решението за [tex]y[/tex] е [tex]\cos(\frac u3),\cos(\frac u3+\frac{2\pi}3),\cos(\frac u3+\frac{4\pi}3)[/tex]

Решенията за [tex]x[/tex] са (подреждането е по-лесно ако знаете, че [tex]u\sim \frac{3\pi}4[/tex]) :
[tex]r_1=\frac{4\sqrt 7\cos(\frac u3+\frac{2\pi}3)-1}9[/tex] [tex]\sim -1.244489...[/tex]
[tex]r_2=\frac{4\sqrt 7\cos(\frac u3+\frac{4\pi}3)-1}9[/tex] [tex]\sim 0.184234...[/tex]
[tex]r_3=\frac{4\sqrt 7\cos(\frac u3)-1}9[/tex] [tex]\sim 0.726921...[/tex]


Накрая резултатът е:
[tex]x\in\bigcup_{k\in\mathbb Z}\left((\arcsin r_3+2k\pi,\pi-\arcsin r_3+2k\pi)\cup(\pi-\arcsin r_2+2k\pi,2\pi+\arcsin r_2+2k\pi)\right)[/tex] където :

[tex]u=\arccos -\frac{409}{224\sqrt 7}[/tex]

[tex]r_2=\frac{4\sqrt 7\cos(\frac u3+\frac{4\pi}3)-1}9[/tex]

[tex]r_3=\frac{4\sqrt 7\cos(\frac u3)-1}9[/tex]

[martin.nikolov]

Пускаш задачи и си ги решаваш! Нямаш ли тетрадка за това?

[inveidar]

Неам нерви! Да чакам.

[allier]

Много красив отговор А аз се опитвах да я реша по нормален начин задачата

[inveidar]

Много красив отговор А аз се опитвах да я реша по нормален начин задачата

И аз така! Намерих я в някакъв руски сборник и се убих да търся нормално решение. Не и не. Накрая я пуснах тук и в един чужд форум. Там един участник я реши по начина, който написах по-горе. Не ми стана ясно как точно се е сетил за това полагане. После пак той се сети, че условието в сборника явно е сбъркано и трябва да е:
[tex]3cos^{2}x.sinx-sin^{3}x<\frac{1}{2}[/tex],
защото тогава се получава и отговорът в сборника!
Още един поучителен пример за това, че човек не трябва да бърза да се самоубива за някаква си грешка!
Напротив, често грешките водят до нещо ново и поучително!

[allier]

Полагането е за да се сведе до Кардано - там трябва да има нула пред квадрата Но решението определено си го бива.

[inveidar]

Е, да де, но това не е стандартното полагане. Как се сеща да направи точно това полагане?

[allier]

Не е стандартното, да - то е [tex]y = x +\frac{1}{9 }[/tex]. Но като се направи, вече се вижда общия множител, който може да се изнесе, така че да се редуцират коефициентите.

[inveidar]

Ясно. Трябва си писане!

[portokal]

има начин да се приложи формула на кардано дори коефициента пред х на квадрат да е различен от 0 може и да стане с по малко писане сигурно ...

[ganka simeonova]

Аз си мисля, че решаването на кубични уравнения/ неравенства в общия случай не е много здравословно.