за доказване

[hari]

Дадени са острите ъгли [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] и
[tex]sin\alpha[/tex]=[tex]\frac{8}{17}[/tex]
[tex]sin\beta[/tex]=[tex]\frac{15}{17}[/tex] док, че:
[tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]=[tex]90^\circ[/tex]

Намирам, че

[tex]cos\alpha[/tex]=[tex]\pm \frac{15}{17}[/tex]

[tex]cos\beta[/tex]=[tex]\pm \frac{8}{17}[/tex]

и съм дотук, нещо подушвам, че [tex]cos\beta[/tex] е като [tex]sin\alpha[/tex]

и [tex]cos\alpha[/tex] е като [tex]sin\beta[/tex], обаче как да док, това което искат

[ksen_93]

За да докажеш,че [tex]\alpha + \beta = 90^\circ[/tex] е достатъчно да докажеш,че [tex]sin(\alpha+\beta)=1[/tex]
За [tex]sin(\alpha+\beta)[/tex] имаме :
[tex]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + sin\beta cos\alpha[/tex] Заместваш с намерените стойности и получаваш исканато.
Важно е да се отбележи,че ъглите са остри,тък като ако не са в интервала (-π/2;π/2), то
[tex]sin(\alpha+\beta)=0[/tex] [tex]\alpha+\beta =[/tex] π/2 + kπ за k\in Z

[hari]

да аз точно това питам
и като заместя по формулата


[tex]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + sin\beta cos\alpha[/tex]

[tex](\frac{8}{17 })^2+(\frac{15}{17} )^2[/tex] не прави 1

[ksen_93]

да аз точно това питам
и като заместя по формулата


[tex]sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + sin\beta cos\alpha[/tex]

[tex](\frac{8}{17 })^2+(\frac{15}{17} )^2[/tex] не прави 1

Е как не прави 1? Имаш [tex]\frac{8^2 + 15^2}{17^2 }[/tex]
[tex]= \frac{64+225}{289 }=\frac{289}{289 } = 1[/tex]

[hari]

да, вярно, истината е че не го проверих и се отказах - просто реших, че този сбор не прави 1 и затова публикувах задачата

[strangerforever]

[tex]\alpha + \beta = 90^\circ <=> \alpha = 90^\circ - \beta <=>* sin\alpha = sin(90^\circ - \beta) <=> sin\alpha = cos\beta[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{8}{17}[/tex] (от питагоровите тройки и от това, че ъгълът е остър)
[tex]sin\alpha = \frac{8}{17}[/tex] (по условие)

*Двете неща са еквиваленти, ЗАЩОТО:

[tex]\alpha \in (0;\frac{\pi }{2})[/tex]
[tex](90^\circ - \beta) \in (0;\frac{\pi }{2})[/tex],

което означава, че и на двата ъгъла синусите им са положителни, т.е. можем да кажем, че равни синуси <=> равни ъгли.