Кубично тригонометрично уравнение

[v1rusman]

зад. Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които уравнението

[tex]2y^3-7y^2+6y+5-2a=0[/tex]

има решение, където [tex]y = cosx[/tex].

[mkmarinov]

[tex]2y^3-7y^2+6y=2a-5[/tex]
Нека лявата страна е [tex]f(y)[/tex]. Гледаме как се изменя за у между -1 и 1.
[tex]f'(y)=6y^2-14y+6[/tex]
Коренът на това уравнение в желаният интервал е
[tex]y_0=\frac{7-\sqrt{13}}{6}[/tex].
[tex]f''(y)=12y-14<0[/tex] за у в желаният интервал, т.е. [tex]y_0[/tex] е максимум.
Минимумът е или в у=1, или у=-1 (краищата на интервала). След заместване се вижда, че минимумът е в у=-1.
[tex]2a-5 \in [f(-1);f(\frac{7-\sqrt{13}}{6})][/tex]
Остава да се сметне и задачата е решена.