Тригонометрично неравенство с 2 параметъра

[v1rusman]

зад.(Сп."Математика", 2011) Да се намерят стойностите на реалните параметри [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], така че неравенството

[tex]|sin2x + asinx+b| \le 1[/tex]

е изпълнено за всяко [tex]x[/tex].

Аз получавам (0;0).

[pipi langstrump]

[tex]|sin 2x + a sin x+b| \le |sin 2x| + |a sin x| + |b| \le 1 +|a sin x| + |b|[/tex]
Тъй като равенството е постижимо при x = pi/4, то за да е по-малък или равен израза от 1 за всяко х, трябва |a sin pi/4| + |b| = 0, т.е. a = 0, b = 0.

Така май е по-добре.

[dimy93]

[tex]|sin 2x + a sin x+b| \le |sin 2x| + |a sin x| + |b| \le 1 +|a sin x| + |b|[/tex]
Тъй като равенството е постижимо при x = pi/4, то за да е по-малък или равен израза от 1 за всяко х, трябва |a sin pi/4| + |b| = 0, т.е. a = 0, b = 0.
Така май е по-добре.

[tex]|sin 2x + a sin x+b| \le 1[/tex] -това не означава ,че [tex]1 +|a sin x| + |b| \le 1[/tex]
Аз до сега успях да докажа ,че a и b са между -1 и 1

[pipi langstrump]

Вярно, не става така - това доказва само, че а и b не може да са едновременно положителни.

|sin 2x + a sin x+b| ≤1
1.При x = pi/4 имаме |1+a(√2)/2+b| ≤1 .Значи ако a≥0, трябва b≤0
2.При x = -pi/4 имаме |-1-a(√2)/2+b| ≤1 .Значи ако a≥0, трябва b≥0
Значи а ≤0
3.При x = 5pi/4 имаме |1-a(√2)/2+b| ≤1 .Значи ако a≤0, трябва b≤0
4.При x = -5pi/4 имаме |-1+a(√2)/2+b| ≤1 .Значи ако a≤0, трябва b≥0
Значи a≥0. Следователно а = 0. От 1 и 2 или от 3 и 4 следва, че и b = 0.