Параметрично уравнение

[pipi langstrump]

Намерете броя на корените на уравнението

[tex]\frac{a-3 sin x}{a cos x-3} = \frac{a-3 cos x}{a sin x -3}[/tex]

в интервала [tex][40 \pi; 49 \pi ][/tex],в зависимост от параметъра а.

[mkmarinov]

1) a=0: sinx=cosx: 9 решения.
Преобразуваме уравнението до
[tex](sinx-cosx)(a^2-3a(sinx+cosx)+9)=0[/tex]
От втория израз получаваме
[tex]sinx+cosx=\frac{a}{3}+\frac{3}{a}[/tex], което е невъзможно. Остава да разгледаме първия. Там [tex]sinx=cosx[/tex]. Остава да се погрижим за ДМ, т.е. [tex]sinx \ne \frac{3}{a}[/tex] (т.к. sinx=cosx, можем да пропуснем за косинуса). Решенията за синуса са [tex]\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. При [tex]\frac{3}{a}=-\frac{\sqrt{2}}{2}, a=-3\sqrt{2}[/tex] отпадат 4 от решенията. При [tex]a=3\sqrt{2}[/tex] отпадат 5 от решенията.
Окончателно:
За [tex]a=3\sqrt{2}[/tex]: 4 решения.
За [tex]a=-3\sqrt{2}[/tex]: 5 решения.
За всяко друга а: 9 решения.

[pipi langstrump]

Точно