Меню
За кои стойности на параметъра[tex]\alpha[/tex],принадлежащ на инт.[tex](0;2\pi )[/tex], всички решения на неравенството принадлежат на интервала (-1;1)?
[tex]f(x)=x^2sin\alpha+xcos^2\alpha -sin\alpha<0[/tex]
Като цяло знам метода на решение. Разгледал съм случая, когато коефициентът а=0 и когато sin[tex]\alpha[/tex]<0.
При първия x[tex]\in[/tex](-∞;0), което противоречи на условието, а при втория: [tex]x\in (-\infty ;sin\alpha )\cup (-\frac{1}{sin\alpha};+\infty)[/tex], при което и той отпада.
При третия обаче [tex]sin\alpha>0[/tex] т.е. [tex]\alpha \in (0;\pi)[/tex] решенията са [tex]x\in (-\frac{1}{sin\alpha};sin\alpha)[/tex] и условието [tex]x \in (-1;1)[/tex] е изпълнено при [tex]-1\le -\frac{1}{sin\alpha}<sin\alpha\le 1[/tex]
На пръв поглед се вижда, че само когато синусът е равен на 1-ца, тогава това има смисъл. Но реших да го докажа и напиша. И тук ми идва затруднението.
Ясно е, че [tex]-\frac{1}{sin\alpha}<sin\alpha[/tex], защото синусът е винаги положителен до 180 градуса, а двете неща са с противоположни знаци.
Но това [tex]-1\le -\frac{1}{sin\alpha}[/tex] не можах да го реша. Ясно ми е, че единствено решение ми е 1, защото иначе 1/0,хххх дава число>1. Но не успях да го реша като тригонометрично неравенство. А на мен като цяло не са ми любими тези, защото се бъркам с градусите като мярка и синусите като цифри.
Затова, моля, някой да ми докаже, че само [tex]\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex] ми е решение.
Някой сигурно ще се зачуди защо, след като отговорът е ясен, това е нужно да се пише. Но нали се сещате, че в предизпитната треска такива очевидни неща могат да не се забележат. Пък и от лично любопитство, че не знам като цяло в това неравенство къде бъркам...
