Да се реши уравнението

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]8x^3+4x^2-4x-1=0[/tex]

[ptj]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8x%5E3%2B4x%5E2-4x-1%3D0

[kerry]

Може би си струва да потърсим по-хубаво представяне на трите корена. Ето какво имам предвид:

Уравнението [tex]8x^3-6x+1=0[/tex] има корени

[tex]x_1 \approx 0.173648178[/tex]
[tex]x_2 \approx 0.766044443[/tex]
[tex]x_3\approx- 0.939692621[/tex]

Но по-добре изглеждат, когато са изписани така:

[tex]x_1=sin10^\circ[/tex]
[tex]x_2=sin50^\circ[/tex]
[tex]x_3=-sin70^\circ[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Да,чудя се как да изкарам отговорите с тригонометрия.Има и друго,че задачата е от тест,което естесвено много улеснява положението,но просто се чудех как да го реша,ако нямах отговорите.

[ganka simeonova]

:) Да,чудя се как да изкарам отговорите с тригонометрия.Има и друго,че задачата е от тест,което естесвено много улеснява положението,но просто се чудех как да го реша,ако нямах отговорите.

Би ли написал цялото условие на задачата дословно и отговорите, които са дадени?

[Mr.G{}{}Fy]

Естествено,след малко ще напиша задачата.Като в тестовия вариант определено се улеснява много.

[Mr.G{}{}Fy]

Ето го и условието:
Кое от посочените числа не е корен на уравнението [tex]8x^3+4x^2-4x-1=0[/tex]
cos2Pi/7,cos3Pi/7,cos4Pi/7,cos8Pi/7
Това е то,но основният ми въпрос е може ли да се измисли достъпно решение,ако нямаме тези отговори.

[ptj]

Когато имаш отговорите може да използваш тригонометричните формули за понижаване степен за да провериш дали се получават тъждества. Доколкото ми е известно на мен, обратния процес не винаги е възможен. Иначе щеше да има алтернативни формули за решаване на уравнения от 3-та степен.

[trig]

По принцип за всяко число x от интервала [-1,1] съществува число t такова че x=cos t. В даденото кубично уравнение корените се записват по този начин, тъй като те се намират в [-1,1], просто добре нагласен пример.
Когато се решава уравнение от трета степен, отговорите се получават под формата на изрази с радикали и степени, в които участват коефициентите на уравнението, така че принципно, за да се получат реалните корени, записани като синуси или косинуси от някакво число, трябва да са по модул по малки или равни на 1 и да се търси число, чиито синус или косинус дава съответния корен на уравнението. В случая, ако решим даденото уравнение в радикали, т. е. както се решава всяко кубично уравнение, и пресметнем cos(kп/7) за k=2,4,8, в радикали, (забележете, че последните числа задължително допускат явно представяне в радикали, защото като корени на алгебрично уравнение, те са задължително алгебрични, а уравнението е разрешимо в радикали), ще видим, че корените на уравнението и изразите за косинусите съвпадат. По-скоро даже е верно, че така могат да се намират в явен вид стойностите на синуси или косинуси от някои ъгли в радикали, а именно като се установи че въпросния синус или косинус удовлетворява някакво алгебрично уравнение от степен не по-висока от 4, което можем да решим в радикали.
По принцип обаче, да търсим запис на корените в такава форма е безсмислена операция, защото освен, че е трудоемко, в много малко случаи могат да се получат хубави записи. Просто идеята на тази задачка е съвсем различна. Поздрави.

[Mr.G{}{}Fy]

Когато имаш отговорите може да използваш тригонометричните формули за понижаване степен за да провериш дали се получават тъждества. Доколкото ми е известно на мен, обратния процес не винаги е възможен. Иначе щеше да има алтернативни формули за решаване на уравнения от 3-та степен.

Това питах долу/горе дали в случая е възможен обратният процес Ясно ми е,че като имам корените задачата става много по-лесна.Аз я реших като представих косинусите като произведение от 1-та страна,а от другата оставих -1/2 и просто се зачудих дали ще мога да я реша,ако нямам корените. Благодаря на всички за отделеното внимание.

[kerry]

Всичко може.

основният ми въпрос е може ли да се измисли достъпно решение,ако нямаме тези отговори.

Отговорите от небето ли паднаха?

[Mr.G{}{}Fy]

Всичко може.

основният ми въпрос е може ли да се измисли достъпно решение,ако нямаме тези отговори.

Отговорите от небето ли паднаха?

Попринцип тази задача е дадена с отговорите и ти да избереш кой е верния т.е. тест,но аз се чудях дали можем да я решим,ако ги нямахме тях.