Тригонометрично уравнение

[Consigliere-]

Здравейте,не мога да се оправя с тази задача ,моля да ми я решите.
Най-големият корен на уравнението [tex]2sin(\frac{\pi(1+x^{2}) }{11+x^{2} }) = 1[/tex] е равен на :

[mkmarinov]

Тригонометричното уравнение е еквивалентно на [tex]\frac{1+x^2}{11+x^2}=\frac{1}{6}+k \cup \frac{1+x^2}{11+x^2}=\frac{5}{6}+k[/tex], където k е произволно цяло число. От друга страна, [tex]\frac{1+x^2}{11+x^2}=1-\frac{10}{11+x^2}[/tex]. За този израз са важни 2 неща - 1), растяща функция на х за положителни числа => най-голяма стойност на х при най-голяма стойност на израза. Второ, по-малък е от 1 за всяко х. Тогава търсената стойност на израза е [tex]\frac{5}{6}[/tex] и остава да намериш най-големият корен на уравнението [tex]6+6x^2=55+5x^2[/tex], т.е. [tex]x=7[/tex].

[Consigliere-]

mkmarinov ,Благодаря за пореден път !!!

[Consigliere-]

Да попитам само ,въпреки ,че не влияе на крайния резултат,но пред к трябва ли да има 2ка ?

[mkmarinov]

Да, трябва, изпуснал съм я.

[Consigliere-]

Кажете ми по-рационален начин освен с полагане
[tex]cos^{2}x+cos^{2}2x+cos^{2}3x=1[/tex]
[tex]sin^{2}x+sin^{2}2x+sin^{2}3x+sin^{2}4x=2[/tex]
Като не решавам от даден тип задачи,забравям мнг бързо.Може би са лесни ,но начина по който аз ги решавам е мнг дълъг.

[Xixibg]

[tex]cos^2x+cos^2{2x}+cos^2{3x}=1[/tex]
[tex]cos^2x+\cancel{cos^2{2x}}+cos^2{3x}=sin^2{2x}+\cancel{cos^2{2x}}[/tex]
[tex](cosx+cos{3x})^2-2cosx.cos{3x}=sin^2{2x}[/tex]
[tex](-2cos{2x}.cosx)^2-cos{2x}-cos{4x}=sin^2{2x}[/tex]
[tex]4cos^2{2x}.cos^2x-cos{2x}-cos^2{2x}+\cancel{sin^2{2x}}=\cancel{sin^2{2x}}[/tex]
[tex]cos{2x}(4cos{2x}.cos^2x-1-cos{2x})=0[/tex]
[tex]cos{2x}(4cos{2x}.cos^2x-\cancel{sin^2x}-cos^2x-cos^2x+\cancel{sin^2x})=0[/tex]
[tex]2cos{2x}.cos^2x(2cos{2x}-1)=0[/tex]
[tex]2(cosx-sinx)(cosx+sinx).cos^2x(2cos{2x}-1)=0[/tex]

И натам можеш......
Ако има проблем напиши и ще ти дам и отговорите....

[mkmarinov]

На втората използвай формулата за понижаване на степента и ще стигнеш до
[tex]cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0[/tex]. Правим формула за сбор на крайните и средните:
[tex]2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0[/tex]
[tex]cos5xcos2xcosx=0[/tex]

[Consigliere-]

Отново помагате.Благодаря !

[Consigliere-]

Те и с тва не стигам до никъде [tex]cosx.cos2x.cos4x=\frac{1}{8 }[/tex]

[Consigliere-]

Имам проблем и с това ..
[tex]2cos^{3}x=sinx[/tex]
Искам само жокер.По какъв начин да го реша ,защото не стигам до никъде....

[ganka simeonova]

[tex]2cos^2x=tgx[/tex];[tex]cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x }[/tex]=>Полагаме [tex]tgx=t[/tex]

[tex]\frac{2}{ 1+t^2} =t=>t^3+t-2=0=>t=1=>[/tex]

[tex]x=\frac{\pi }{ 4} +k\pi[/tex]