Тригонометрично уравнение: cos4x = cos3x

[SaulSlash]

Здравейте. Бихте ли ми казали как се решава следното уравнение: cos4x = cos3x?
Благодаря.

[martosss]

Образувай разликата cos(4x)-cos(3x)=0
след което използвай формулата за разлика от косинуси => произведение
и приравни всеки член на 0.

[ptj]

Може да се реши и с малкo хитрост.

1.) Функцията [tex]cos (x)[/tex] е непрекъсната в целия числов интервал (има първа производна).
2.) Тя е строго намаляваща в интервала [tex][0;\pi][/tex] и строго растяща в [tex][\pi;2\pi][/tex] (знака на производната и)
3.) [tex]cos(x)=cos(-x)[/tex]
4.) [tex]cos(x)=cos(x+2k\pi )[/tex]

1-вото и 2-рото ни гарантират, че всяка стойност за [tex]cos x[/tex] в интервала [-1;1] се достига точно по веднъж при [tex]x\in [0;\pi][/tex] или [tex]x\in [\pi ;2\pi][/tex].
Като добавим 3-тото и 4-тото намираме, че единсвените решения са
[tex]4x=3x+2k\pi[/tex] или [tex]-4x=3x+2k\pi[/tex] .

Окончателно: [tex]x=2k\pi[/tex] или [tex]x=\frac{2}{7 }k\pi[/tex] (премахнатият минус не играе роля)

[martosss]

Може, разбира се, но по принцип не бих го използвал за таква задача, защото:
1) и двата метода са горе-долу еднакви по дължина
2) в твоя има мислене и съобразявания, които увеличават шанса за грешка.

Тоест почти еднакви усилия, но при едното по-голям шанс за грешка... затова използвам първия метод. Освен това не е ясно дали са изследвали толкова подробно функциите...

Не се опитвам по никакъв начин да умаловажа второто решение, нито да кажа кое е по-добро, просто искам да обясня защо бих предпочел първото в случая.

[SaulSlash]

Много благодаря за двете решения.

[SaulSlash]

Имам още един въпрос за тази задача: [tex]cos^{2}6x = cos^{2}3x[/tex].
Първо образувам разликата, след това правя сбор по разлика и после използвам формулите за сбор и разлика на косинуси. Така получавам 4 члена и съответно 4 решения. Обаче в отговора на задачата има само едно: [tex]\frac{k\pi }{9}[/tex].
Защо се получава така?

[ptj]

[tex]6x=3x+2k\pi[/tex] <=> [tex]x=\frac{2}{3 }k\pi=\frac{6}{9 }k\pi[/tex]
[tex]6x=-3x+2k\pi[/tex] <=> [tex]x=\frac{2}{9 }k\pi[/tex] (покрива 0,2/9,4/9,6/9,8/9)
[tex]6x=(\pi-3x)+2k\pi[/tex] <=> [tex]x=\frac{2k+1}{9 }\pi[/tex] (покрива 1/9,3/9, 5/9, 7/9)
[tex]6x=(\pi +3x )+2k\pi[/tex] <=> [tex]=\frac{2k+1}{3 }\pi=\frac{6k+3}{9 }\pi[/tex]

Обединението на 4-те е [tex]\frac{k\pi }{9 }[/tex] .

[SaulSlash]

Получавам следните отговори:
[tex]\frac{2k\pi}{9}; \frac{2k\pi}{3}; \frac{\pi }{9} + \frac{2k\pi}{9}; \frac{\pi }{3} + \frac{2k\pi}{3}[/tex].

Да, сега разбрах, благодаря.

[SaulSlash]

Здравейте. Нови три задачи:

1). [tex]sinx + cosx = 1[/tex]

2). [tex]cos4x + cos6x - cosx = 0[/tex]

3). [tex]tgx + tg2x - tg3x = 0[/tex]

На първата вдигам на квадрат двете страни и използвам формули. Стигам до отговор [tex]\frac{k\pi}{2}[/tex]. Ако може да предложите вашите решения.

За другите две нямам идея как трябва да подходя.

Edit: Втората я реших. На cos4x + cos6x правя произведението. И после се изнася cosx.

[ptj]

2). [tex]cos4x + cos6x - cosx = 0[/tex]
Ползваш формулата за сума на два косинуса:
[tex]2\cos \frac{6x+4x}{2 } \cos \frac{6x-4x}{2 } + cosx=0[/tex]

[tex]\cos x\left(2 \cos(5x)+1\right)=0[/tex]

...

[SaulSlash]

Да, тази я реших, бях си редактирал поста.

[ptj]

В третата ползвай формулата за сума на тангенси.

[tex]tg 2\alpha -tg 3\alpha =\frac{\sin(2\alpha -3\alpha) }{\cos2\alpha .\cos3\alpha }[/tex]

За знаменателя ползвай формулите за понижение на степента:
[tex]\cos2\alpha =2\cos^2\alpha +1[/tex]
[tex]\cos3\alpha =4cos^3\alpha -3cos\alpha[/tex]

[SaulSlash]

Благодаря. Всъщност и без тях минах. Може да се приведе към общ знаменател след като се приложи формулата за сбор от тангенси. Знаменателят пада.