Неравенство

[strangerforever]

За произволни [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] да се докаже:

[tex]sin\alpha sin\beta + cos\alpha + cos\beta \le 2[/tex]

[0xdeadbeef]

[tex]sin\alpha sin\beta + cos\alpha + cos\beta = \sqrt{1+\sin^2{\beta}}(\frac{\sin{\beta}}{\sqrt{1+\sin^2{\beta}}}\sin{\alpha} + \frac{1}{\sqrt{1+\sin^2{\beta}}}\cos{\alpha}) + \cos{\beta} =[/tex]

[tex]= \sqrt{1+\sin^2{\beta}}\sin{(\theta + \alpha)} + \cos{\alpha} = y[/tex], където

ъгъл [tex]\theta[/tex] е такъв, че [tex]\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{1+\sin^2{\beta}}}[/tex] и [tex]\cos{\theta} = \frac{\sin{\beta}}{\sqrt{1+\sin^2{\beta}}}[/tex].

Сега [tex]y \le \sqrt{1+\sin^2{\beta}} + \cos{\alpha}[/tex].

Ще докажем, че [tex]\sqrt{1+\sin^2{\beta}} + \cos{\beta} \le 2[/tex].

Извършваме последователно, еквивалетни преобразувания

[tex]\sqrt{2 - \cos^2{\beta}} \le 2 - \cos{\beta} \Leftrightarrow 2-cos^2{\beta} \le (2-\cos{\beta})^2 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2\cos^2{\beta} -4\cos{\beta} + 2 \ge 0 \Leftrightarrow 2(\cos{\beta} - 1)^2 \ge 0[/tex]

[mkmarinov]

[tex]2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2} \le sin^2\frac{\alpha}{2} + sin^2 \frac{\beta}{2}[/tex]
Ако вземем модулите на двете страни, имаме
[tex]|sin^2\frac{\alpha}{2} + sin^2\frac{\beta}{2}| \ge |2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}| \ge |2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}|[/tex], т.е. модулът на дясната страна е винаги по-голям или равен на модулът на лявата. От друга страна, дясната страна е винаги положителна.

[strangerforever]

От неравенството на Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz имаме:

[tex]sin\alpha sin\beta + cos\alpha.1 + 1.cos\beta \le \sqrt{(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha + 1)(sin^2 \beta + 1 + cos^2 \beta)} = 2[/tex]