как се обединяват решения

[hari]

Получавам решенията и после не знам как да ги обединя, май нещо съм изпуснал. Например:
1. получавам три групи решения:
[tex]x=\frac{\pi }{ 6} +2k\pi[/tex]

[tex]x=\frac{5\pi }{6 }+2k\pi[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi }{2 }+2k\pi[/tex]

Обединяват се в една [tex]x=\frac{\pi }{ 6} +\frac{2}{ 3} k\pi[/tex] - как се получава. И други подобни има, и не разбира как става?

[ptj]

Най-добре си ги начертай на една единична окръжност с 3-различни цвята за да намериш обща формула.

Но така, както си ги написал отговорите не се обединяват в [tex]\frac{\pi }{ 6}+2k\pi[/tex].

[hari]

Да, прав си. Обединяват се в

[tex]x=\frac{\pi }{ 6} +\frac{2}{3 } k\pi[/tex]. Честно, аз чернах, дори с различни цветове в окръжността - и стана една мазаница. Пробвах и на числова ос - пак не можах да прогледна. Моля, ако го разбираш - обясни ми. Изчислих и ъглите - 30, 150 и 270 - и пак нищо.

[ptj]

Напиши по-добре условието на задачата. Може би някъде в решението си допускаш грешка.
------------------------------------------
Може да разгледаш също :http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=24&t=8275#p40699

Там в 6-тото по ред мнение от темата съм обяснявал точно за обединение на решения за ъгли.

[hari]

6x=3x+2k\pi <=> x=\frac{2}{3 }k\pi=\frac{6}{9 }k\pi
6x=-3x+2k\pi <=> x=\frac{2}{9 }k\pi (покрива 0,2/9,4/9,6/9,8/9)
6x=(\pi-3x)+2k\pi <=> x=\frac{2k+1}{9 }\pi (покрива 1/9,3/9, 5/9, 7/9)
6x=(\pi +3x )+2k\pi <=> =\frac{2k+1}{3 }\pi=\frac{6k+3}{9 }\pi

Обединението на 4-те е \frac{k\pi }{9 } .

Намерих го, обаче пак не ми е ясно, какво означава покрива 0,2/9... тези означения, да не би да се замества последователно с к=0, 1, 2, и така до число, което да е по-малко от единица?
Да, пробвах така е. Ами по-нататък? Сега - под общ знаменател, и числител - к? + пи за красота. Веднага по това ще пробвам моя пример. Сигурен съм, че решенията са ми верни. Но не мога да намеря обединението.

[hari]

Схванах до тук - в моя пример

[tex]x=\frac{\pi }{ 6} +2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{1}{6 } +2k)*\pi[/tex]

[tex]x=\frac{5\pi }{6 }+2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{5}{6 } +2k)*\pi[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi }{2 }+2k\pi[/tex] = ([tex]\frac{-3}{6 } +\frac{12}{6 } k)*\pi[/tex]

и по-нататък - не мога

[ptj]

Когато рисува решенията(ъглите) в единичната окръжност не забеляза ли нещо? (емблемата на Мерцедес)

Разликата между кои да e две рамена на ъглите е точно [tex]\frac{4\pi }{6 }=\frac{2\pi }{ 3}[/tex].
Затова общото решение може да го запишеш като [tex]x=\frac{\pi }{6 } +k\frac{2\pi }{3 }=\frac{(4k+1)\pi }{6 }[/tex]

П.П. Ако има разлика спрямо дадения отговор на задачата напиши тук цялото и условие за да ти кажа дали не бъркаш в нещо.

[hari]

Много ти благодаря. За периода как се определя - разбрах го! Аз чертах и оцветявях - ама със запълване - с периода - и стана една цапаница..
Обаче ми остана - още нещо - моля - пак ми обясни, ако можеш.
Пак пиша решенията:

[tex]x=\frac{\pi }{ 6} +2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{1}{6 } +2k)*\pi[/tex]

[tex]x=\frac{5\pi }{6 }+2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{5}{6 } +2k)*\pi[/tex]

[tex]x=-\frac{\pi }{2 }+2k\pi[/tex] = ([tex]\frac{-3}{6 } +\frac{12}{6 } k)*\pi[/tex]

Как определяме [tex]\frac{\pi }{ 6}[/tex] в общото решение?

Аз от предния пример - където си ми посочил линк - разбрах, че в скобите заместваме последователно к=0,1,2 до получаване на число по-малко/голямо от [tex]\pm1[/tex]
Конкретно в моя случай

[tex]x=\frac{\pi }{ 6} +2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{1}{6 } +2k)*\pi[/tex] - [tex]\frac{1}{6 }[/tex] - няма други, защото числото става по-голямо /малко от [tex]\pm1[/tex]

[tex]x=\frac{5\pi }{6 }+2k\pi[/tex]= ([tex]\frac{5}{6 } +2k)*\pi[/tex] - [tex]\frac{5}{6 }[/tex] - няма други, защото числото става по-голямо/малко от [tex]\pm1[/tex]


[tex]x=-\frac{\pi }{2 }+2k\pi[/tex] = ([tex]\frac{-3}{6 } +\frac{12}{6 } k)*\pi[/tex] - [tex]\frac{-3}{6 }[/tex] - няма други, защото числото става по-голямо/малко от [tex]\pm1[/tex]

А по принцип задачата е: но съм сигурен, че правилно съм я решил
[tex]sin^{2}x - cos^{2}x+sinx=0[/tex]
И получава тези три решения - и не мога да им намеря обединението. Сега разбрах, че периода е [tex]+2k\pi[/tex], моля обясни ми как да намеря другата част от решението - [tex]\frac{\pi }{6 }[/tex], така че да получа обединението
[tex]x=\frac{\pi }{6 }+2k\pi[/tex]

[ptj]

[tex]sin^2x-cos^2x+sinx=0[/tex]
[tex]2sin^2x+sinx-1=0[/tex]

[tex]sinx=\frac{-1\pm 3}{4 }[/tex]

[tex]sinx=-1[/tex]<=> [tex]x=\frac{3\pi }{2 }+2k\pi[/tex]

[tex]sinx=\frac{1}{2 }[/tex]<=> [tex]x=\frac{\pi }{2 } \pm \frac{\pi }{3 }+2k\pi[/tex]

Обединението на 3-те решения е точно [tex]x=\frac{\pi }{6 } +\frac{2k\pi }{3 }[/tex] (цялото число k е произволно, т.е. няма зависимост от предните 2 примера)

Най-добре решения се обединяват точно чрез чертане, защото тогава се придобива визуална представа за тяхната връзка.

П.П. В подобни задачи трябва да съобразяваш дали съответната тригонометрична функция има няколко решения. Например тук използвах :[tex]sin(x)=sin(\pi -x)[/tex].

[hari]

За к - знам, ще го направя в червено - това, което не разбирам как се е получило

x=pi/6+[tex]\frac{2}{3 }k\pi[/tex]

[ptj]

Виждаш картинката и търсиш зависимост на нея, а не да се опитваш да преобразуваш формулите си. Когато я намериш може да провериш дали тя наистина съответсва на множеството от решенията ти (като даваш различни стойности за k).

П.П. За конкретната задача дали ще запишеш решението си като [tex]x=\frac{\pi }{6 }+\frac{2k\pi }{3 }[/tex] или [tex]x=\frac{5\pi }{6 } +\frac{2l\pi }{3 }[/tex] или [tex]x=\frac{3\pi }{2 } +\frac{2m\pi }{3 }[/tex] няма абсолютно никакво значение, защото и 3-те формули описват една и съща област на решения.

[ptj]

А по принцип задачата е: но съм сигурен, че правилно съм я решил
[tex]sin^{2}x - cos^{2}x+sinx=0[/tex]
И получава тези три решения - и не мога да им намеря обединението. Сега разбрах, че периода е [tex]+2k\pi[/tex], моля обясни ми как да намеря другата част от решението - [tex]\frac{\pi }{6 }[/tex], така че да получа обединението
[tex]x=\frac{\pi }{6 }+2k\pi[/tex]

След като си разбрал за периода, като начална стойност взимаш кое да е от решенията. В горния пост съм ти написал различни варианти.