според госпожата:много трудна задача

[scarlet]

2+cos² 8x + cos ² 2x = 2cos 8x.cos 2x+ √3 . sinx +cosx

мое решение донякъде:
cos² 8x+ cos² 2x - 2cos 8x. cos 2x= √3. sinx +cosx-2
(cos8x-cos2x)² =√3. sinx +cosx-2
(-2 sin 5x. sin3x) ² =√3. sinx +cosx-2
4 (sin5x.sin3x) ²=√3. sinx +cosx-2 /.(-1)
-4(sin5x.sin3x) ²=1+1-cosx-√3.sinx
-4(sin5x.sin3x) ²=1+ 2sin² x/2 -√3sinx /.(-1)
4(sin5x.sin3x) ²=√3sinx-2sin² x/2 -1
(sin5x.sin3x) ² -√3/4.sinx +1/2 sin²x/2=-1/4
sin²5x. sin² 3x -√3/4. sinx +1/2. sin² x/2 =-1/4

[mkmarinov]

Изключително трудна
Прехвърляме [tex]2cos2xcos8x[/tex] отляво, прехвърляме хвърчащата двойка отдясно (това, което си направил до втория ред) и отдясно използваме тъждеството [tex]\sqrt{3}sinx+cosx=2sin(x+\frac{\pi}{6})[/tex].
Уравнението добива вида
[tex](cos8x-cos2x)^2=2sin(x+\frac{\pi}{6})-2[/tex]
Лявата страна е неотрицателна, дясната неположителна => равенство има само когато и двете страни са равни на 0. Т.е. трябва да се реши системата
[tex]\begin{tabular}{|l}cos8x-cos2x=0 \\ sin(x+\frac{\pi}{6})=1 \end{tabular}[/tex]

Окончателното решение е [tex]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi; k \in Z[/tex]