Как се решават параметрични тригонометрични уравнения

[SaulSlash]

Здравейте. Как се решават уравнения от този сорт:

1). [tex]acotgx - 1 = cos2x[/tex]

2). [tex]sin^2x = a + 1 - 4cosx[/tex]

Като [tex]x \in [0; 2\pi][/tex]

[mkmarinov]

1)
[tex]a\frac{cosx}{sinx}=2cos^2x[/tex] => [tex]sin2x=a[/tex]
2)
[tex]1-cos^2x=a+1-4cosx[/tex] => [tex]cos^2x-4cosx+a=0[/tex]

[SaulSlash]

А как става самото изследване? Забравил съм да добавя към условието [tex]x \in [0; 2\pi][/tex]
За първия пример трябва да се отговори колко са решенията в интервала [tex]x \in [0; 2\pi][/tex]

[ammornil]

В първа задача: За да се съкрати cosX от двете страни на равенството трябва да сме сигурни, че този израз не е с нулева стойност!
ДМ: [tex]x \in R/\{\pm k.\pi\}[/tex], с други думи всяко х за което cosx е различно от нула (котангенсът е дефиниран).
В случая има дефиниция, която казва че [tex]x \in [0;2.\pi][/tex]. В този интервал има две стойности на Х за които cotgx не е дефинирана, затова ние ще додефинираме като кажем, че
ДМ:[tex]x \in (0;\pi) \cup (\pi;2.\pi)[/tex].

Вече може да пристъпим към решаване на задачата. Параметърът не нищо необикновено, това е число с което се борави като с всеки известен коефициент или свободен член. В края, когато получм израз за Х трябва да кажем за кои стойности на параметъра отговорът ще съществува и за кои- няма.

[tex]a.cotgx=cos(2.x)+1 \Longrightarrow a.cotgx=cos^{2 }(\frac{2.x}{2 })[/tex]

[tex]a.\frac{cosx}{sinx}=2.cos^{2}x \Longrightarrow a.cosx=2.cos^{2}x .sinx \Longrightarrow a.cosx-2.cos^{2}x .sinx =0[/tex]

[tex]cosx(a-2.sinx.cosx)=0[/tex]
Така че задачата се свежда до обединението:
[tex]cosx=0 \cup sin(2.x)-a=0[/tex]

[tex]x=\frac{\pi}{2 } \pm 2.k.\pi[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]sin(2.x)=a[/tex]

Първото има две решения в ДМ: [tex]x_{1}=\frac{\pi}{2 }[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x_{2}=\frac{3.\pi}{2}[/tex].
За второто имаме два случая:
(1)[tex]a\in[-1;1] \Longrightarrow x=\frac{1}{2 }.arccos(a)[/tex]
(2)[tex]a\in (-\infty ;-1) \cup (1;+\infty ) \Longrightarrow x\in \emptyset[/tex]

[Xixibg]

[tex]cotg{x}[/tex] е дефиниран при [tex]sin {x}\ne 0[/tex], а не както е писано в горният пост при [tex]cos {x}\ne 0[/tex]

[ammornil]

Правилно, моя грешка. Благодаря, коригирано е.

[SaulSlash]

Благодаря за изчерпателния отговор. А как мога да определя колко решения има уравнението за дадени стойности на параметъра? Защото в задачата не се търсят самите решения.

[ammornil]

Две конкретни плюс безброй много за различните допустими стойности на параметъра. Като цяло обаче може да се каже, че ще имаме четири решения, защото винаго когато вземем конкретна допустима стойност за а, ще получим точно два отговора за аркустангенс, които да са в ДМ.

[mkmarinov]

Има и още един по-важен момент, конкретно
[tex]sin2x=a => x=\frac{1}{2}(arcsina +2k\pi )\cup x=\frac{1}{2}(\pi-arcsina+2k\pi)[/tex]

[ammornil]

Има и още един по-важен момент, конкретно
[tex]sin2x=a => x=\frac{1}{2}(arcsina +2k\pi )\cup x=\frac{1}{2}(\pi-arcsina+2k\pi)[/tex]

Да, съвсем се разсеях. Първо дефинирах тангенс вместо котангенс, после върнах КОСИНУС от СИНУС.


mkmarinov: Бележката за "важния момент" не е за теб, а за човека написал задачата! Това което ти виждаш по подразбиране, много хора дори не са чували. Когато те питат КАК СЕ РЕШАВА НЕЩО е добре да напишеш отговор, а не само да предложиш решение. ЗАБЕЛЕЖКА (Добре е отговорът да е верен, което на мен не ми се получи в случая).

[mkmarinov]

Как се решава нещо?
По думите на един колега, "всяка задача се решава по един от следните три начина - опровергаване на противното, индукция и интегриране по части".

Когато ме питат за решение, давам решение, или поне по-важната част от него. Нито мога, нито искам да разказвам как се прилагат дефиници.

[SaulSlash]

Може ли да се даде такова решение на задачата?

1). При [tex]a = 0[/tex] и [tex]a > 1 \cup a < -1[/tex] => 2 решения.
2). При [tex]a = 1[/tex] и [tex]a = -1[/tex] => 4 решения.
3). При [tex]0 < a < 1 \cup -1 < a < 0[/tex] => 6 решения.