Тригонометрия задачи

[King Henry]

Добър Ден!

Ако някой може да хвърли по едно око ще бъда много благодарен.

1) sin2x=1+asinx - cos2x , x е в интервала [0,П]. Да се определят броя на решенията в зависимост от а.

2) а=? уравнението 1/sinx + 1/cosx=a има решение в (0,П/2)

Благодаря предварително!
Поздрави!

[Knowledge Greedy]

Задача 2. По неравенството между средно квадратично и средно хармонично
[tex]\frac{2}{\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx} }\le \sqrt{\frac{sin^2x+cos^2x}{2 } }[/tex] за [tex]sinx[/tex] и [tex]cosx[/tex], които са положителни в дадения интервал получаваме, че [tex]a\ge 2\sqrt{2}[/tex] и равенство се достига само при [tex]x=\frac {\pi }{4 }[/tex]Това означава, че уравнението [tex]\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}=a[/tex] има решение [tex]\forall a\ge 2\sqrt{2}[/tex].

СинусІкосинус и средно хармонично.PNG (6.5 KiB) Прегледано 659 пъти

Ето графика на функцията [tex]y=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}[/tex] в ивицата между двете и вертикални асимптоти [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{\pi }{2 }[/tex] , и правата [tex]y=a[/tex].

[ptj]

2.) [tex]a=\frac{1}{sin x }+\frac{1}{cos x }=\frac{1}{sinx }+\frac{1}{\sqrt{1- sin^2 x } }[/tex]

Понеже [tex]sin x[/tex] е непрекъсната функция в интервала [tex](0;\frac{\pi }{2 })[/tex], то и [tex]f(x)=\frac{1}{sinx }+\frac{1}{\sqrt{1- sin^2 x } }[/tex] също е непрекъсната функция в този интервал. Тогава тя пробягва всяка стойност между своите минимум и максимум.

Knowledge Greedy вече показа, че минимума на [tex]f(x)[/tex] e [tex]2\sqrt{2}[/tex], а максимума е [tex]\lim_{x \to 0}f(x)=[\frac{1}{+0 }]+[\frac{1}{1 }]=+\infty[/tex]

П.П. Доуточнението за непрекъснатостта е важно, защото без него решението Knowledge Greedy не дава гаранция, че [tex]\forall a_0\ge 2\sqrt{2}[/tex] има съответен аргумент [tex]x_0\in (0;\frac{\pi }{2 })[/tex] , така че [tex]a_0=\frac{1}{sin x_0 }+\frac{1}{sin y_0 }[/tex].