Тригонометрично тъждество с тангенси

[atnast]

Да се докаже, че [tex]tg^{2}10^\circ +tg^{2}50^\circ +tg^{2}70^\circ =9[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]tg^2 10^{\circ} +tg^2 50^{\circ} +tg^270^{\circ}=9[/tex]

Решение. Означаваме лявата страна с [tex]A[/tex].
Известно е тъждеството [tex]tg^2 \alpha=1-\frac{2tg \alpha}{tg2 \alpha}[/tex]

Така [tex]A=1-\frac{2tg10^{∘}}{tg20^{∘}}+1-\frac{2tg50^{∘}}{tg100^{∘}}+1-\frac{2tg70^{∘}}{tg140^{∘}}[/tex]

Следователно [tex]A=3-B[/tex],
където
[tex]B=\frac{2tg10^{∘}}{tg20^{∘}}+\frac{2tg50^{∘}}{tg100^{∘}}+\frac{2tg70^{∘}}{tg140^{∘}}[/tex]

Представяме [tex]B[/tex] със синуси и косинуси

[tex]B=\frac{2sin10^{\circ} cos 20^{\circ}}{cos 10^{\circ} sin20^{\circ}}+\frac{sin50^{\circ} cos 100^{\circ}}{cos 50^{\circ} sin100^{\circ}}+\frac{2sin70^{\circ} cos 140^{\circ}}{cos 70^{\circ} sin140^{\circ}}[/tex]

[tex]B=\frac{sin30^{\circ} - sin10^{\circ}}{cos 10^{\circ} sin20^{\circ}}+\frac{sin150^{\circ} - sin50^{\circ}}{cos 50^{\circ} sin100^{\circ}}+\frac{sin210^{\circ} - sin70^{\circ}}{cos 70^{\circ} sin140^{\circ}}[/tex]

В полученото равенство заместваме синусите и косинусите с функции на най-малките възможни остри ъгли, както и с конкретни известни стойности.

[tex]B=\frac{1- 2sin10^{\circ}}{2cos 10^{\circ} sin20^{\circ}}+\frac{1 - cos40^{\circ}}{2sin40^{\circ} cos10^{\circ}}-\frac{1+2cos20^{\circ}}{2sin20^{\circ} sin40^{\circ}}[/tex]

Привеждаме под общ знаменател [tex]B=\frac{(1- 2sin10^{\circ} )sin40^{\circ}+(1 - 2cos40^{\circ} )sin20^{\circ} - (1 + 2cos20^{\circ} )cos10^{\circ}}{2cos10^{\circ} sin20^{\circ} sin40^{\circ}}[/tex]

Числителят на [tex]B[/tex] е:
[tex]sin40^{\circ} - 2sin10^{\circ} sin40^{\circ} + sin20^{\circ} - 2cos40^{\circ} sin20^{\circ} - cos10^{\circ} - 2cos20^{\circ} cos10^{\circ}=[/tex]

[tex]=sin40^{\circ} - (cos 30^{\circ} - cos 50^{\circ}) + sin20^{\circ} - (sin 60^{\circ} - sin20^{\circ} ) - cos10^{\circ} - (cos 30^{\circ} +cos10^{\circ} )=[/tex]

[tex]=2(sin40^{\circ} + sin20^{\circ})-3cos 30^{\circ} - 2 cos 10^{\circ}=-3cos 30^{\circ}[/tex]

Знаменателят на [tex]B[/tex] е:
[tex]2cos10^{\circ} sin20^{\circ} sin40^{\circ} = cos10^{\circ} (cos 20^{\circ} - cos 60)= cos10^{\circ} cos 20^{\circ} - \frac{1}{2}cos10^{\circ} =[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}cos 30^{\circ} + \cancel {\frac{1}{2}cos10^{\circ}} -\cancel {\frac{1}{2}cos10^{\circ}}= \frac{1}{2}cos 30^{\circ}[/tex]

Следователно [tex]B=-\frac{3 \cancel{cos 30^{\circ}} }{\frac{1}{2}\cancel{cos 30^{\circ}}}=-6[/tex].
Така завършваме доказателството, че [tex]A=9[/tex].