Уравнение sin^5 + cos^5 + 1/sin + 1/cos ...

[Donatello]

[tex]sin^{5}x+cos^{5}x+\frac{1}{sinx }+\frac{1}{cosx } =0[/tex]

[martin123456]

DM...
[tex]a=\sin{x}+\cos{x}[/tex], [tex]b=\sin{x}\cos{x}[/tex]
[tex]1=\sin^2{x}+\cos^2{x}[/tex]=>[tex]a^2+2b=1[/tex]
[tex]\sin^3{x}+\cos^3{x}=a(1-b)[/tex]
[tex]a(1-b)=(\sin^2{x}+\cos^2{x})(\sin^3{x}+\cos^3{x})=\sin^5{x}+\cos^5{x}+b^2a[/tex]
уравнението става [tex]a-ab-ab^2+\frac{a}{b}=0[/tex], [tex]a(1-b-b^2+\frac{1}{b})=0[/tex].
1) [tex]a=0[/tex]=>[tex]tgx=-1[/tex]
2) [tex]a \ne 0[/tex]=>[tex]b-b^2-b^3+1=0[/tex], [tex]b^3+b^2-b-1=0[/tex], [tex](b+1)(b^2-1)=0[/tex]=>[tex]b=\pm 1[/tex]. но [tex]|b| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].

[Donatello]

DM...
[tex]1=\sin^2{x}+\cos^2{x}[/tex]=>[tex]a^2+2b=1[/tex]
...
но [tex]|b| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].

Трябва да е [tex]a^2-2b=1[/tex] , а от къде определи [tex]|b| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[martin123456]

да, с минус е
[tex]b=\sin{x}\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2} \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}][/tex], т.е. трябва да е [tex]\frac{1}{2}[/tex]. сорри за грешките

[Donatello]

Нп , мерси отново за решението ;]