Редица

[mkmarinov]

Още едно решение, използващо сходимостта (ограничеността) на [tex](1+\frac{1}{n})^n[/tex], което не използва мистичното неравенство между СА и СГ.
Нека [tex]b_n=(1+\frac{1}{n})^n[/tex]. Знаем, че [tex]a_1<b_1[/tex]
[tex]a_{n+1}=(1+\frac{1}{2^{n+1}})a_n<(1+\frac{1}{n+1})a_n[/tex], откъдето [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{b_{n+1}}{b_n}[/tex], разписваме ги за всички числа от 1 до n и ги умножаваме, получавайки
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_1}<\frac{b_{n+1}}{b_1}[/tex]
Откъдето [tex]a_{n+1}<\frac{a_1}{b_1}.b_{n+1}<b_{n+1}<e[/tex] за всяко n.

Иначе, интересно ми е каква е границата на тази редица - и може ли да бъде зададена с елементарна формула.