Изследване за сходимост

[atom3]

Здравейте ами значи имам 2 задачки със задача да се изследват за сходимост първата е
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}} \frac{n^2}{(2n-1)^n}[/tex]

какво точно означава да се изследва за сходимост тук например ако заместя n с първите 2-3 числа виждам че числата се редуват +- но все отиват към 0 това достатъчно ли е за условието да кажа че редът е сходим и клони към 0 ?
и втората задача е
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} = \frac{n^2}{3^n}[/tex]

ако може да ми кажете как трябва да се решат правилно че усещам че с моите тарикатски методи 3 може и да не хвана

[Гост]

За първата използвай критерия на Лайбниц за редове с алтернативно сменящи се знаци.

За втората ползвай критерий на Коши, Даламбер или Раабе-Дюамел (един от тях ще проработи, затова трябва да видиш кой от трите).

[Гост]

[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{3^n}, \quad a_{n}=\frac{n^2}{3^n}, \quad a_{n+1}=\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}.\frac{3^n}{n^2} \sim \lim_{n \to +\infty} \frac{\cancel{n^2}.\cancel{3^n}}{3.\cancel{3^n}.\cancel{n^2}} = \frac{1}{3}<1[/tex]

По критерия на Даламбер редът е сходящ.

[atom3]

Как решавате кога кой критерий да се използва ?
а и още нещо когато се прави Аn+1 гледам че в знаменателя +1 се добавя като степен а в числителя като обикновено число ами ако в знаменателя нямаме степен как се добавя +1


Реших първия ред ако може да кажете дали е вярно значи първо редът от абсолютни стойности на този ред е [tex]\frac{n^2}{(2n-1)^n}[/tex]
от тук със Коши стигнах до резултата 1/2 което значи че редът е сходящ
и от тук по определение следва че изследвания ред е абсолютно сходящ вярно ли е ?

[Гост]

За [tex]a_{n+1}[/tex] навсякъде заместваш [tex]n[/tex] с [tex]n+1[/tex].

Ако един ред е абсолютно сходящ, то той е сходящ.

[Гост]

Критериите са по твое усмотрение.