lim...

[tinka_one]

Имам следната задача (1/2) na stepen (x^2)/x-1 и x->∞
Когато я решавам стигам до lim (1/2)^x и въпроса ми е какъв е отговора 0 или ∞ ?

[ammornil]

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x^{2}}{x-1}}=\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2^{\frac{x^{2}}{x-1}}}\right)=...=\frac{1}{2^{\infty}}=0[/tex]

Не съм математик, но не мисля, че някак може да се стигне до [tex](\frac{1}{2})^{x}[/tex]. Все пак за да си знаеш:
[tex]\cyr{Za} \hspace{6} \forall a \in R \\
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = 0 \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = \infty[/tex]

[Гост]

Не съм математик, но не мисля, че някак може да се стигне до [tex](\frac{1}{2})^{x}[/tex]. Все пак за да си знаеш:
[tex]\cyr{Za} \hspace{6} \forall a \in R \\
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = 0 \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = \infty[/tex]

Стига се, като се напише [tex]\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x^2}{x-1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^x\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x-1}}[/tex]
Значи ти твърдиш, че при a=1/2, (1/a)^x клони към 0 при х към безкрайност?

[Гост]

Това, което си написал, не е вярно.

[inveidar]

[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^{2}}{x-1} =\lim_{x \rightarrow +\infty}(x.\frac{1}{1-\frac{1}{ x} }) =+\infty[/tex]

[tex]\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x^{2}}{x-1} =\lim_{x \rightarrow -\infty}(x.\frac{1}{1-\frac{1}{ x} }) =-\infty[/tex]

Нека [tex]\frac{x^{2}}{x-1} =t[/tex]. Тогава при [tex]x\rightarrow+\infty[/tex], [tex]t\rightarrow+\infty[/tex].
При [tex]x\rightarrow-\infty[/tex], [tex]t\rightarrow-\infty[/tex].

[tex]\lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{1}{2 })^{\frac{x^{2}}{x-1}}= \lim_{t \rightarrow +\infty}(\frac{1}{2 })^{t}=0[/tex]

В другия случай, когато хиксът клони към минус безкрайност, редицата дивергира към плюс безкрайност.

[ammornil]

Да, трябва да се додефинира горното ми твърдение така:

[tex]\cyr{Za} \hspace{6} \forall a \in R, \hspace{2} |a|>1 \\
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = 0 \\
\lim_{x \rightarrow -\infty}\left(\frac{1}{a} \right)^{x} = \infty[/tex]