Изследвайте за сходимост числовата редица ?

[ironsteel]

Здравейте и за много години на всички !

Този симестър започнахме математически анализ 1-ва част,и отново ще ви помоля за Ваща помощ.

Незнам дали темата е за тук и ли за раздела за висша математика.
Поправете ме ако съм сбъркал.

Та ето и едната от задачите за сходимост

[tex]a_{n}=\frac{n!}{n^{n} }[/tex]

Незнам как да започна,четох теория обаче незнам как да я приложа.
Може би трябва да се намери една граница на тази редица(или дали е ограничена),но не знам как?
Ако може подробно да ми обясните как се решава?

Предварително ви благодаря от сърце!!

[martin123456]

[tex]a_{n}=\frac{n!}{n^{n} }[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=(\frac{n}{n+1})^n<1[/tex]=>[tex]a_{n+1}<a_n[/tex]
[tex]a_n>0[/tex]
=> намаляваща редица, ограничена отдолу => сходяща

[estoyanovvd]

От горния пост е ясно, че [tex]a_{n}=(1+\frac{1}{n })^{n} .a_{n+1}[/tex]
Сега при положение, че вече знаем за сходимоста на редицата, правим граничен преход и получаваме
[tex]a=e.a[/tex], където а е границата на редицата а е-то е неперовото число. Следователно a=0.

[ironsteel]

Добре,сега имам наколко въпроса,които може да ви се сторят глупави.

Първо

[tex]a_{n}=\frac{n!}{n^{n} }[/tex]
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=(\frac{n}{n+1})^n<1[/tex]=>[tex]a_{n+1}<a_n[/tex]
[tex]a_n>0[/tex]
=> намаляваща редица, ограничена отдолу => сходяща

Как получихме това,
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}[/tex]

Аз го разбирам така,
[tex]a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1} }[/tex] което е n+1-вия член на редицата.

И защо [tex]a_{n+1}[/tex] трябва да се раздели на [tex]a_{n}[/tex].

И как преработиxме [tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}[/tex] за да получим [tex](\frac{n}{n+1})^n[/tex]?

И нещо друго за да е сходяща една редица трябва да е ограничена и от горе и от долу нали ?

Извинявам се отново за идиотските въпроси,имам много пропуски от средното (по-точно не помня нищо) и искам със ваша помощ да си обясня някои неща.

Извинявам се ако съм станал досаден.

Отново Ви благодаря за указаната помощ!!

[martin123456]

И нещо друго за да е сходяща една редица трябва да е ограничена и от горе и от долу нали ?

да. но
1) ако е растяща и ограничена отгоре, то тя е ограничена отдолу от [tex]a_1[/tex]
2) ако е намаляваща и ограничена отдолу, то тя е ограничена отгоре от [tex]a_1[/tex]
значи няма нужда от 2рото условие да го проверяваме

И защо [tex]a_{n+1}[/tex] трябва да се раздели на [tex]a_{n}[/tex].

като имаш една дроб, например [tex]\frac{1}{2}[/tex], както знаем [tex]\frac{1}{2}<1[/tex]<=>[tex]1<2[/tex]
t.e. рaзделяме за да срвним [tex]a_n[/tex] и [tex]a_{n=1}[/tex]. по точно логиката е следната [tex]a_n < a_{n+1}[/tex] (при положителни членове, каквито имаме) <=>[tex]\frac{a_n}{a_{n+1}} <1[/tex]. разделяме просто решавайки неравенството [tex]a_n < a_{n+1}[/tex] , за да видим дали редицата е растяща , намаляваща, нито едното

И как преработиxме [tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}[/tex] за да получим [tex](\frac{n}{n+1})^n[/tex]?

[tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^{n}}=(\frac{n}{n+1})^n[/tex]

[ironsteel]

Извинявам се но нещо не мога да разбера това

[tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^{n}}=(\frac{n}{n+1})^n[/tex]

Как

[tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]

в смисъл как [tex]n![/tex] отива отгоре?
И как преработваме това

[tex]\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]

за да получим това
[tex]\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex].

Благодаря и за пореден път се извинявам(явно ще бъде много често).

[martin123456]

Извинявам се но нещо не мога да разбера това
[tex]\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]
в смисъл как [tex]n![/tex] отива отгоре?

делим числител и знаменател на [tex]n![/tex], което не променя стойнсотта на дробта

И как преработваме това
[tex]\frac{\frac{(n+1)!}{n!}n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]
за да получим това
[tex]\frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex].

[tex]\frac{(n+1)!}{n!}=n+1[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\frac{\frac{a}{b } }{c } =\frac{a}{b } :c=\frac{a}{ b} .\frac{1}{c } =\frac{a}{bc }[/tex]

[ironsteel]

Изключително много ви благодаря.

И последно не можах да схавна защо делим членовете ,а например не ги събираме или изваждаме?

[martin123456]

И последно не можах да схавна защо делим членовете ,а например не ги събираме или изваждаме?

можем и да ги извадим. тогава пак можем да ги сравним. но като гледам всички тези степени и факториели, реших че ако ги разделя, ще се изпосъкратят

[ironsteel]

Мерси отново!!!

[seppen]

Тук става ли да докажем, че [tex]\normal n^n > n![/tex] и да следва, че границата е 0?

[mkmarinov]

Не. [tex]2n^2+1>2n^2[/tex], но границата не е 0.

[estoyanovvd]

Става, но трябва да докажеш, че [tex]n^{n}>(n+1)![/tex].
Или да речем [tex]n^{n}>n.n![/tex]. Което е все едно [tex]n^{n-1}>n![/tex].
Което пък изобщо не е трудно.

[seppen]

Стоянов, нещо май не Ви разбирам.
mkmarinov, мерсим ти за контра-примера.

[estoyanovvd]

Ами това, което аз съм написал означава примерно че [tex]0<a_{n}<\frac{1}{ n}[/tex]. Още ли не разбираш?
Теорема за двамата полицаи! А аз бях готов да се закълна в теб?!?!!!

[seppen]

Вече е ясно.
Аз си загрявам бавно по принцип.

[estoyanovvd]

Това не е лошо за една мацка, по принцип!!!