Помощ за задача : Намерете границите на функциите

[Гост]

limx.doc

Намерете границите на функциите:

(57 KiB) 177 пъти

[Anubis]

[tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( \frac{x^2+1}{x^2-1} \right )^{x^2}: \quad f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}, \quad g(x) = x^2[/tex]

Търсената граница е равна на [tex]e^a, \quad a = \lim_{x \to +\infty} g(x) [ f(x) - 1 ][/tex].

[tex]a = \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \frac{x^2+1-x^2+1}{x^2-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2-1} = 2[/tex]

Т. е. [tex]e^2[/tex].

[pipi langstrump]

За първата умножаваш числитела и знаменатела по корена на спрегнатото на това под корена.

[Гост]

Добър вечер. Решавам задачи от форума за упражнение и за първи път попадам на тази "формула". Възможно ли е някой да обясни защо а = f(x)*(g(x)-1)? За всички граници, които се решават с Неперово число ли важи?

[Гост]

Извинявам се, объркал съм подредбата на функциите: g(x) * f(x)-1

[Гост]

Ще се радвам, ако някой може да помогне.

[pal702004]

Възможно ли е някой да обясни защо а = g(x)*(f(x)-1)? За всички граници, които се решават с Неперово число ли важи?

Не всички, само когато $\lim f(x)=1$. Или, когато имаме неопределеност от вида $1^{\infty}$

Нека $a=f(x)^{g(x)}$. Логаритмуваме.

$\ln(a)=g \ln(f)$

Сега, тук се използва основната граница $\lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t}=1$. Или $\ln(1+t) \sim t$ при $t \to 0$

В нашият случай $\ln(1+f-1) \sim f-1$

Или, $\ln(a) \sim g(x)[f(x)-1]$

Специално за тази задача бих използвал направо основната граница $\lim_{t \to \infty} \left(1+\frac a t\right)^t=e^a$

$\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x^2-1}\right)^{x^2}=\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{2}{x^2-1}\right)^{x^2-1}\left(1+\dfrac{2}{x^2-1}\right)=e^2\cdot 1$