Да се изследва и начертае графиката на функцията

[Гост]

Може ли някой да ми помогне с решението на тази задача:
y=f(x)=x-ln(x+1)

Трябва ми за петък ако някой може да помогне ще съм му много благодарен!

[Гост]

[tex]f(x)=x-\ln{(x+1)}[/tex]
Дефинирана е за [tex]x>-1[/tex].
[tex]f'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}[/tex]. Анулира се за [tex]x=0[/tex] и си сменя знака там, като за [tex]x\in (-1,0):\hspace{2mm}f\downarrow,\hspace{2mm}x>0:\hspace{2mm}f\uparrow[/tex]. Имаме локален минимум за [tex]x=0[/tex] и стойността му е [tex]y=0[/tex].
[tex]f''(x)=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}>0[/tex], значи е изпъкнала и няма инфклексни точки.
Хоризонтална асимптота: [tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x(1-\frac{\ln{(x+1)}}{x})=\lim_{x\to +\infty}x.\lim_{x\to +\infty}(-\frac{1}{x+1})=\lim_{x\to+\infty}(-\frac{x}{x+1})=\lim_{x\to +\infty}(-\frac{1}{1+\frac{1}{x}})=-\infty[/tex]. Използвахме Лопитал. Значи няма хоризонтална.
Вертикална асимптота: [tex]\lim_{x\to -1}(x-\ln{(x+1)})=+\infty[/tex]. Значи [tex]x=-1[/tex] е вертикална асимптота.
Друга вертикална асимптота: [tex]\lim_{x\to c}(x-\ln{(x+1)}=c-\ln{(c+1)}\ne \infty[/tex], понеже и двете събираеми са крайни. Значи други няма.
Наклонени асимптоти: [tex]\lim{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-\ln{(x+1)}}{x}=\lim_{x\to +\infty}(1-\frac{\ln{(x+1)}}{x})=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+1}=+\infty[/tex], значи няма наклонени.
Графиката е прикачена.