Докажете границата

[Consigliere-]

Да се докаже,че :
[tex]lim_{n->\infty} \frac{a^{n}}{n! } = 0[/tex]
От примерен изпит по анализ във ВИАС ,който може нека помогне

[pipi langstrump]

Теорема: Ако всички членове на редицата [tex]a_n[/tex] са различни от 0 и [tex]|\lim\,\frac{a_{n+1}}{a_n } |<1 => \lim\,a_n = 0[/tex]

[Consigliere-]

Мен ми е ясно това ,което сте написали,но просто искам да разбера как да го опиша,че
[tex]frac{a^{n}}{n! } = n_{n}[/tex] нали така излиза ? ...
Аз си го обяснявам така ,и числителя и знаменателя растат към ∞ ,но в 1 момент знаменателя става много по-голям от числителя ,следователно клони към 0 ,но как се описва .....

[Гост]

[tex]\frac{a^n}{n!} = \frac{\overbrace{aaa\dots a}^{n}}{n!} = \frac{\overbrace{aaa\dots a}^{n}}{1.2.3 \dots a(a+1)\dots n} = \frac{\overbrace{aaa\dots a}^{a}}{1.2.3\dots a}. \frac{\overbrace{aaa\dots a}^{n-a}}{(a+1)(a+2) \dots n} = C\frac{\overbrace{aaa\dots a}^{n-a-1}}{(a+1)(a+2) \dots (n-1)} . \frac{a}{n}[/tex]
където [tex]C = Const[/tex].

В сила са неравенствата [tex]0 \le \frac{a^n}{n!} \le \frac{C_1}{n}[/tex],

лявото неравенство е очевидно, докато дясното е така понеже [tex]\frac{\overbrace{aaa\dots a}^{n-a-1}}{(a+1)(a+2) \dots (n-1)} \le 1[/tex].

Накрая [tex]\frac{a^n}{n!} \rightarrow 0[/tex], при [tex]n \rightarrow \infty[/tex] следва от squeeze theorem.

- Кумчо Вълчо.

[Consigliere-]

благодаря

[Гост]

Това горното не върви когато а е реално, още по-малко когато е комплексно число.
По-скоро това дето чорапа предлага по-може, макар че не знам каква яснота може да се придобие от някакво голо твърдение. Просто n+1 вия член на редицата се получава като се умножи n-тия с a/(n+1). Сиреч редицата [tex]a_{n}=\frac{a^n}{n!}[/tex] може да се зададе рекурентно с уравнението [tex]a_{n+1}=\frac{a}{n+1}a_n[/tex]. От това уравнение се получава, че
[tex]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|a|}{n+1}<1[/tex] за достатъчно голямо n значи [tex]|a_n|[/tex] е намаляваща от известно място нататък. Понеже тя е редица от положителни числа, тя е ограничена отдолу, значи е сходяща и границата и е точната долна граница на множеството от нейните членове. Обаче, рекурентното уравнение дава [tex]|a_{n+1}|=\frac{|a|}{n+1}|a_n|[/tex], от което след граничен преход се получава че [tex]|a_n|\to 0[/tex]. Значи и [tex]a_n\to 0[/tex].

[pipi langstrump]

От [tex]|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \rightarrow 0[/tex] следва, че за достатъчно големи [tex]n\ge k[/tex] имаме [tex]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<0,1[/tex]. Оттука с почленно умножение получаваме [tex]0\le |\frac{a_{n+1}}{a_k}|<(0,1)^{n-k}[/tex] и с граничен преход получаваме [tex]|a_{n+1}|\rightarrow 0[/tex], значи [tex]a_n \rightarrow 0[/tex]

[Consigliere-]

Понеже доцента ни даде основни граници,които ще ги има на изпита,ще напиша още 2 ,когато имате възможност помогнете с доказателствата
[tex]lim_{n->\infty } \frac{n}{a^{n} } =0[/tex]
[tex]lim_{n->\infty } \frac{n^{k}}{a^{n} } = 0[/tex]

И ме интересува следната граница правилно ли е доказвам
[tex]\sqrt[n]{a} ->1[/tex]
[tex]lim_{n->\infty }\sqrt[n]{a} =[/tex]
[tex]= a^lim_{n->\infty } \frac{1}{ n} =[/tex]
[tex]= a^{0} = 1[/tex]

[Consigliere-]

Ако имате идеи давайте моля ви,това ми остана единствено да науча и се притеснявам,че ще ми го дадат утре,извинете за нахалството ама ....