Граница

[dweer]

[tex]\lim_{x\to\0}\frac{\sqrt{1+8x} - 1}{sin2x}[/tex]

а да , забравил сам една 1-ца

[pipi langstrump]

Предполагам, че си объркал нещо, защото така границата не съществува.

[pipi langstrump]

Значи имаме [tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+8x} - 1}{sin2x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+8x} - 1}{x}\lim_{x\to 0} \,\frac{x}{sin 2x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+8x} - 1}{x}.\frac{\sqrt{1+8x} + 1}{\sqrt{1+8x} + 1} = \frac{1}{2} \lim_{x\to 0}\frac{8}{(\sqrt{1+8x} + 1) } = 2[/tex]

[dweer]

аха , можеш ли да обесниш защо [tex]\frac{x}{sin2x}[/tex] става [tex]\frac{1}{2}[/tex]

[pipi langstrump]

Защото [tex]\frac{x}{sin 2x} = \frac{1}{\frac{2 sin x cos x}{x} }[/tex] , и[tex]\lim_{x\to 0}\frac{sin x}{x} = 1[/tex]

[WEBER]

Има и друг начин:

[tex]f(x) = \sqrt{1 + 8x} - 1[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{4}{\sqrt{1 + 8x}}[/tex]

[tex]g(x) = sin2x[/tex]

[tex]g'(x) = 2cos2x[/tex]

И оттук става: [tex]\lim_{x\to\0} \frac{\frac{4}{\sqrt{1+8x} } }{2cos2x } = 2[/tex]