Граница на редица

[Nuki]

26032013500.jpg (130.96 KiB) Прегледано 562 пъти

26032013501.jpg (133.87 KiB) Прегледано 562 пъти

Някой може ли да ми помогне, не знам начина по който се решават тези задачи. Май трябва да използвам свойството на аритметична прогресия ама не сън сигурен.

[Anubis]

Зад. 73.

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1+4+7+\cdots+3n-2}{n^2-n+2}: \quad a_{1}=1, \quad d=3 \Rightarrow S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}n=\frac{3n^2-n}{2}[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2-2n}{2n^2-2n+4} \sim \frac{3n^2}{2n^2}=\frac{3}{2}[/tex]

Зад. 78.

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\cdots+\frac{1}{5^n}}{1+\frac{1}{6}+\frac{1}{36}+\cdots+\frac{1}{6^n}}[/tex]

[tex]\begin{array}{||}a_{1}^{1} = 1, \quad q^{1}=\frac{1}{5} \Rightarrow S_{1}=\frac{1}{1-\frac{1}{5}} = \frac{5}{4} \\ a_{1}^{2} = 1, \quad q^{2}=\frac{1}{6} \Rightarrow S_{2}=\frac{1}{1-\frac{1}{6}} = \frac{6}{5}\end{array} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{24}[/tex]

Зад. 76

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1+7+7^2+\cdots+7^{n-1}}{1-49^n}[/tex]

[tex]S_{n} = \frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1} = \frac{7^{n}-1}{6} \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \frac{7^{n}-1}{6(1+7^{n})(1-7^{n})} = -\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{6(1+7^{n})}= 0[/tex]

Другите се решават аналогично.

П. П. Ще ти кажа нещо. Когато си се захванал да решаваш някаква задача, не бива да си на принципа аз мисля, че е така, но няма да пробвам. Най-малкото ти не си на изпит, за да се страхуваш, че ще сгрешиш. Ако не пробваш, само си си изгубил времето.

[ganka simeonova]

Зад. 73.
П. П. Ще ти кажа нещо. Когато си се захванал да решаваш някаква задача, не бива да си на принципа аз мисля, че е така, но няма да пробвам. Най-малкото ти не си на изпит, за да се страхуваш, че ще сгрешиш. Ако не пробваш, само си си изгубил времето.

Абсолютно вярно!

[Nuki]

07042013507.jpg (122.46 KiB) Прегледано 495 пъти

07042013510.jpg (128.5 KiB) Прегледано 495 пъти

120,127,128

[Anubis]

Като за начало [tex]1-\cos^3 x = (1-\cos x)(1+\cos x + \cos^2 x)[/tex] и [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin h(x)}{h(x)} = 1[/tex].

[tex]1-\cos x = 1 - \left ( \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} \right ) = 2 \sin^2 \frac{x}{2}[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2} (1+\cos x + \cos^2 x)}{x \cdot 2 \sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x + \cos^2 x}{\cos x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cdot x \cdot \sin x}[/tex]

Първата граница се смята стандартно и тя е [tex]\frac{1+1+1}{1} = 3[/tex].

Втората е [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{\sin \frac{x}{2}} \cdot \sin \frac{x}{2}}{\cancel{2} \cdot x \cdot 2 \cdot \cancel{\sin \frac{x}{2}} \cdot \cos \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\fbox{\sin \frac{x}{2}}}{2 \cdot \fbox{\frac{x}{2}} \cdot 2\cdot \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{4}[/tex].

Тогава [tex]\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^3 x}{x \sin 2 x} = \frac{3}{4}[/tex].

[Anubis]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \quad \frac{\sin \left ( x - \frac{\pi}{3} \right )}{1 - 2 \cos x}[/tex]

[tex]1-2\cos x = 2 \left ( \frac{1}{2} - \cos x \right ) = 2 \left ( \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \right ) = -2 \cdot 2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{3}+x}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2} = -4 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{3}+x}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}[/tex]

[tex]\sin \left ( x - \frac{\pi}{3} \right ) = -\sin \left ( \frac{\pi}{3}-x \right ) = -2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}[/tex]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \quad \frac{\sin \left ( x - \frac{\pi}{3} \right )}{1 - 2 \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \quad \frac{\sin \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}}{2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+x}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \quad \frac{\cos \frac{\frac{\pi}{3}-x}{2}}{2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}+x}{2}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]