Доказателсвто за граница

[addicted]

Ако {b_n} е сходяща с граница b , докажете, че [tex]\frac{1}{ {b_n}} ---> \frac{1}{ b}[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]b\ne 0;\ b_n\ne 0;\ B=min|b_n|\ne 0[/tex]

Според дефиницията на Коши за [tex]\{b_n\}_{n=1}^{\infty}[/tex]

[tex]|b_n-b|<\varepsilon|b|B,\ \forall n>\delta(\varepsilon)[/tex]

[tex]|b_n|\ge B[/tex]

[tex]\Rightarrow\|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\|=\frac{|b-b_n|}{|bb_n|}<\frac{\varepsilon|b|B}{|b|B}=\varepsilon,\ \forall n>\delta(\varepsilon)[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] според същата дефиниция за [tex]\{\frac{1}{b_n}\}_{n=1}^{\infty}\Rightarrow\frac{1}{b_n}\to\frac{1}{b}[/tex]

[inveidar]

Що първо не докажете теоремата за сходимост на редица, получена като частно на две сходими редици с граница на знаменателя различна от нула?

[Добромир Глухаров]

Нека:
[tex]|a_n-a|<\varepsilon_1.min|b_n|[/tex]
[tex]|b_n-b|<\varepsilon_2.min|b_n|\cdot\frac{|b|}{|a|}[/tex]
за [tex]n>\delta(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=\delta(\varepsilon)[/tex]

Следва:
[tex]\|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\|=\|\frac{a_n.b-a.b_n}{b.b_n}\|=\|\frac{a_n.b-ab-(a.b_n-ab)}{b.b_n}\|=[/tex]

[tex]=\|\frac{b(a_n-a)-a(b_n-b)}{b.b_n}\|\le\frac{|b||a_n-a|+|a||b_n-b|}{|bb_n|}<[/tex]

[tex]<\frac{|b|\varepsilon_1.min|b_n|+|a|\varepsilon_2.min|b_n|\cdot\frac{|b|}{|a|}}{min|b_n||b|}=\varepsilon_1+\varepsilon_2=\varepsilon[/tex]

Тук се използва: [tex]|A-B|\le|A|+|B|[/tex]

[addicted]

Благодаря много и за двата отговора, Добромир.