Доказване на теорема - f(x) е ограничена

[addicted]

Здравейте, трябва ми да докажа следната теорема:
Нека f(x) е непрекъсната върху интервалът [a,b] ( краен затворен интервал) , то докажeте, че f(x) е ограничена.
Не става ли просто от дефиницията за съществуване на граница |f(x)| - |A| <= |f(x) - A| < E т.е. |f(x)| < E + |A| , т,е, за всяка точка може да изберем ограничена околност. Ще се радвам, ако ми помогнете, тъй като на лекциите сме го доказали с допускания , построявали сме някакви редици и т.н...
Също така се чудя, това, че е непрекъсната значи ли , че съществува и дясна граница в точката b? Или може и да не съществува?
Благодаря предварително.

[kmitov]

Дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [tex][a,b][/tex] oзначава, че за всяко [tex]x_0 \in (a,b)[/tex] [tex]\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)[/tex], a за крайщата съответно дясната [tex]\lim_{x \to a+}f(x)=f(a)[/tex] и лявата [tex]\lim_{x \to b-}f(x)=f(b)[/tex] граници.

Нека наистина да допуснем, че функцията не е ограничена. Това означава, че за всяко естествено число, [tex]n[/tex] има [tex]x_n \in [a,b][/tex] така че [tex]f(x_n)>n[/tex]. Следователно редицата от стойности клони към безкрайност и освен това, каквато и подредица да изберем [tex]f(x_{n_k})>n_k[/tex] също ще клони към безкрайност.

Да разгледаме сега редицата [tex]x_1,x_2, \ldots,x_n,\ldots[/tex]. Всички членове на тази редица са в интервала [a,b].
Следователно тя е ограничена, следователно има сходяща подредица. Нека тя е [tex]x_{n_1}, x_{n_2},\ldots,x_{n_k},\ldots[/tex]. Поради това, че за всяко [tex]k[/tex] [tex]a \le x_{n_k} \le b[/tex] то границата на тази редица е число [tex]x_0 \in [a,b][/tex]. Тогава поради непрекъснатостта на [tex]f[/tex], [tex]\lim_{k \to \infty}f(x_{n_k})=f(x_0)[/tex] което е число.

Oт друга страна понеже [tex]n_k \to \infty[/tex], то и [tex]f(x_{n_k})>n_k \to \infty[/tex] при [tex]k \to \infty.[/tex]

Полученото противоречие доказва ограничеността.

[addicted]

Благодаря много, а това, което написах, когато пусках темата не е ли вярно? Т.е., ако допуснем, че, ако при х клонящо към някое число, имаме функция клоняща към безкрайност, то ще имаме противоречие с написаното( това, че за всяка точка може да се намери околност, в която функцията е ограничена) ? Вероятно не е вярно, защото иначе щше да пише това доказателство в книгите, но явно няма да е вярно, но защо?
Също така може ли доказателство на диференциране на сложна функция? Пиша от телефон и за това не ми е удобно да и напиша точното условие, но мисля, че е ясно за какво говоря.
Благодаря още веднъж .