Непрекъснатост на функция

[valka7a]

Бихте ли ми подсказали как да реша и да докажа следната функция:
Дадена е f(x) = {1/ln(x+1)-1/x за x э (-1,0) ∩ (0,+∞); a за x=-1 ; b за х=0 }
а)-a,b э R , докажете че f(x) e непрекъсната -тук мисля че изследваме лява и дясна с Лопитал но не съм много сигурен
б) Докажете че съществува β принадлежаща на интервала [-1,+∞) такава че f(β)=0 мисля че тук е теоремата на Болцано Коши но тя е за затворен интервал?

[valka7a]

някой, моля ?

[Knowledge Greedy]

Изглежда задачата е такава

Дадена е [tex]f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{ ln(x+1)} & -\frac{1}{x }, & x \in (-1,0) \cup (0,+\infty ) \\
a &, & x=-1 & \\
b &, & x=0 &
\end{matrix}\right.[/tex]
a) Да се докаже, че функцията е непрекъсната.

Дясната граница при [tex]x\rightarrow -1[/tex], (без прилагане на правилото на Лопитал), се убеждаваме, че [tex]\lim_{x \to -1} f(x)=-\infty[/tex] и при всяка стойност на [tex]a[/tex] функцията [tex]f(x)[/tex] е прекъсната в [tex]x=-1[/tex].

В точката [tex]x=0[/tex] изследваме функцията, като я привеждаме във вида [tex]f(x) =\frac{x-ln(x+1)}{ xln(x+1)}[/tex]
Границата [tex]\lim_{x \to 0} f(x)[/tex] намираме след двукратно прилагане на правилото на Лопитал.
Тази граница е [tex]\lim_{x \to 0} f(x)=\frac{1}{2 }[/tex]
За да бъде функцията [tex]f(x)[/tex] непрекъсната в [tex]x=0[/tex], трябва [tex]b=\frac{1}{2 }[/tex]

И за подусловие б) си прав

...б) Докажете че съществува β принадлежаща на интервала [-1,+∞) такава че f(β)=0 мисля че тук е теоремата на Болцано-Коши, но тя е за затворен интервал?

Да забележим, че [tex]f(x) =0 \Leftrightarrow x=ln(x+1)[/tex]
За да може да приложим споменатата теорема ще разглеждаме функцията [tex]g(x)=x-ln(x+1)[/tex] в затворен интервал [tex][A;B]\subseteq [-1;+\infty )[/tex], за който сме сигурни, че [tex]g(A)g(B)<0[/tex].
А да посочиш такива конкретни [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] - не представлява трудност. Примерно [tex]A=\frac{1}{e }[/tex] и [tex]B=e.[/tex]