Граница на редица,зададена с рекурентно отношение

[gabriela.yordanova]

Ще съм Ви много благодарна, ако ми помогнете с решението на тази задача
[tex]a_{1}=2014[/tex]

[tex]a_{n+1}=\sqrt[3]{260a_{n}+1919}[/tex]

[tex]\lim_{x ->\infty } a_{n}= ?[/tex]

[Добромир Глухаров]

Ако [tex]\{a_n\}_{n=1}^{+\infty}[/tex] е сходяща с граница [tex]l[/tex], то [tex]\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{260a_n+1919}=\sqrt[3]{260\lim_{n\to\infty}a_n+1919}\Rightarrow l=\sqrt[3]{260l+1919}\Leftrightarrow l^3-260l-1919=0[/tex]. Ако коренът е цял, той дели [tex]1919=19.101[/tex]. Вижда се, че [tex]l=19[/tex] е корен.

Нека [tex]a_n<19\Rightarrow a_n<a_{n+1}<19[/tex], също [tex]a_n>19\Rightarrow 19<a_{n+1}<a_n[/tex]

[tex]\Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=19[/tex]

[gabriela.yordanova]

Благодаря ти много за решението.Това,което ми е трудно е да докажа,че [tex]a_{n}[/tex] е сходяща.Другият ми въпрос е защо никъде не използваш,че a1=2014.

[Добромир Глухаров]

Ако [tex]a_1>19\Rightarrow 19<a_2<a_1,\ 19<a_3<a_2[/tex] и т.н. независимо колко точно е [tex]a_1[/tex].

Как да докажем, че [tex]a_{n+1}<a_n[/tex]? Трябва да покажем, че [tex]\sqrt[3]{260a+1919}<a[/tex] за [tex]\forall a>19[/tex]. Можем например да си начертаем графиката на [tex]y=\sqrt[3]{260x+1919}[/tex] и да видим, че тя пресича графиката на [tex]y=x[/tex] в точка [tex]A(19;19)[/tex] и вдясно от тази точка [tex]y<x[/tex].

Редица.png (29.6 KiB) Прегледано 568 пъти

От това, че [tex]y'(x=19)>0\Rightarrow a_{n+1}=y(a_n)>19\Rightarrow a_n[/tex] доближава до [tex]19[/tex] неограничено.