Теорема на Кантор

[Zarrie]

Здравейте,
Притеснява ме теоремата на Кантор, която гласи, че ако имаме редица от затворени интервали, за които е изпълнено, че всеки следващ се съдържа в предходния и дължината им клони към 0, то съществува точно едно число с, което се съдържа във всичките интервали.
Доказателството формално използва това, че редиците образувани от левите краища на интервала и десните краища на интервала клонят към едно и също число, та следователно това число е с и всичко е доказано.
Притесняват ме две неща -
1) Дефинираме понятие редица от интервали, което е не толкова проблемно, защото на интуитивно ниво всичко е ясно, но започвайки да работим с него и да прилагаме свойствата на редици, трябва да се направят нужните съображения.
2) Основно ме притеснява това, че независимо, че лявата и дясната "част" (точки) на интервала клонят към едно и също число, от свойството на реалните числа знаем, че стига този интервал да не е празен( тоест да е точка ), то той съдържа безброй много числа, което е в разрез с теоремата на Кантор!
Накратко, колкото и малки интервали да вземем, такива че всеки да се съдържа в предходния, в тях винаги ще остават безкраен брой числа!?

[Nathi123]

Теорема на Кантор : Ако [tex][a_{n},b_{n }][/tex]са редица от затворени интервали и [tex][a_{n-1},b_{n-1 }][/tex] се съдържа в [tex][a_{n},b_{n }][/tex] за [tex]\forall n[/tex] и [tex]\lim_{n\to \infty}(a_{n }-b_{n })= 0,[/tex]то съществува единствена точка С принадлежаща на всички интервали
[tex][a_{n},b_{n }][/tex]. В доказателството на теоремата се показва ,че С = [tex]\lim_{n\to \infty}a_{n }=\lim_{n \to \infty}b_{n }[/tex] т.е. всеки колкото и малък интервал да вземем на С съдържа безброй членове на тези редици ( определение за граница на числова редица) . По нататък в доказателството на теоремата се показва,че ако допуснем,че има друго число С' общо за всички интервали,то съвпада с С.

[drago]

@Nathi123 : Ми предполагам той това го знае, пък и няма нужда да се преразказва, всеки може да види доказателството, ако желае.
Въпросът на Zariie, според мен, е философски. И тази интерпретация съм я чувал и от други хора, физици или с такова практическо насочено мислене. Защо след като колкото и да пресичаме интервалите един след друг последователно, все остават безкраен брой точки, то сечението на всичките ще е само една точка или още по лошо ще е празно ??? Да, може и да буде празно. Например забрави за ирационалните числа, все едно няма такива, т.е. разглеждаме множеството на рационалните числа. Тогава такава с-ма от затворени, вложени интервали може да има и празно сечение. Това не те ли притеснява повече? За мен лично е по-притеснително.

[Zarrie]

Така е, drago, но сметнах, че ако поставя въпроса като теб ще бъда още по-малко разбран какво имам предвид, затова реших да го изложа като по-очевиден контрапример на теоремата, за да разберат по-вещите от мен какво имам предвид и да ми обяснят
Благодаря за допълнението, наистина е много коректно и адекватно!

[Nathi123]

Е, аз да попитам хората с практическо мислене ,как си представят на практика канторова система от интервали [tex][a_{n },b_{n } ][/tex] с допълнителното условие [tex]\lim_{n \to \infty}( b_{n }-a_{n }) = 0[/tex]? ( как нагледно си представят последното равенство?)

[pipi langstrump]

Здравейте,
Притеснява ме теоремата на Кантор, която гласи, че ако имаме редица от затворени интервали, за които е изпълнено, че всеки следващ се съдържа в предходния и дължината им клони към 0, то съществува точно едно число с, което се съдържа във всичките интервали.
Доказателството формално използва това, че редиците образувани от левите краища на интервала и десните краища на интервала клонят към едно и също число, та следователно това число е с и всичко е доказано.
Притесняват ме две неща -
1) Дефинираме понятие редица от интервали, което е не толкова проблемно, защото на интуитивно ниво всичко е ясно, но започвайки да работим с него и да прилагаме свойствата на редици, трябва да се направят нужните съображения.
2) Основно ме притеснява това, че независимо, че лявата и дясната "част" (точки) на интервала клонят към едно и също число, от свойството на реалните числа знаем, че стига този интервал да не е празен( тоест да е точка ), то той съдържа безброй много числа, което е в разрез с теоремата на Кантор!
Накратко, колкото и малки интервали да вземем, такива че всеки да се съдържа в предходния, в тях винаги ще остават безкраен брой числа!?

Аз не виждам нищо притеснително. За 1) просто ще имаш две числови редици, едната - от числата, които отговарят на левите краища на интервалите, другата - на десните. За 2) имаш 2 числови редици, които клонят монотонно към едно и също число. Ключовата дума е "клонят" Т.е. редиците никога не достигат граничните си точки, но се приближават неограничено към тях, колкото повече нараства номера на члена. Примерно ако едната редица е -1\n, a другата 1\n, общата им гранична точка ще е нулата, но нито един член на редиците няма да стане нула. 1 000 000- ните членове примерно, ще са -0,000001 и 0,000001, 1 000 000 000 000- ните- -0,000000000001 и 0,000000000001 и т.н. И двете редици могат да се приближат неограничено близко до нулата, ако увеличаваме неограничено номера на общия член, и понеже тя им е обща граница, който и интервал да вземем, например [-0,000000000000000000000000000000000001;0,000000000000000000000000000000000001], тя ще се съдържа в него.

[Zarrie]

Да, разбирам те напълно, но аз твърдя, че няма да е само тя, а ще са безбройно много околности на нулата!

[drago]

@pipi langstrump: Оставям настрана, че това въобще е офтопик, по отношение на първоначалното питане. Но така и така имаме някакъв коментар, нека и аз да попитам.

...За 2) имаш 2 числови редици, които клонят монотонно към едно и също число...Примерно ако едната редица е -1\n, a другата 1\n, общата им гранична точка ще е нулата...

Първо, къде е казано, че двете редици клонят към едно и също число? пък вече го накаканизахме да е нулата!
Второ: защо въобще трябва всяка от редиците да е сходяща ?
Това което е дадено е , че дължината на вложените интервали клони към 0.

Още една илюстрация: Питане: сходяща ли е редицата [tex]1,1/2, 1/3,\dots[/tex]. Отговор: Рано е да се каже Всичко зависи от базисното пространство, т.е. юниверса или рамката, която имаме..например ако пространството е (0,1) то редицата не е сходяща. Да, тя е редица на Коши, но не е е сходяща.
Или това вече излиза извън рамките на математическото образованието във Физическия факултет

П.П. Нямам никакви притеснения по отношение на тази теорема, просто не ми харесва да се коментира така... малко дилетански, сори.

[pipi langstrump]

@pipi langstrump: Оставям настрана, че това въобще е офтопик, по отношение на първоначалното питане. Но така и така имаме някакъв коментар, нека и аз да попитам.

...За 2) имаш 2 числови редици, които клонят монотонно към едно и също число...Примерно ако едната редица е -1\n, a другата 1\n, общата им гранична точка ще е нулата...

Първо, къде е казано, че двете редици клонят към едно и също число? пък вече го накаканизахме да е нулата!
Второ: защо въобще трябва всяка от редиците да е сходяща ?
Това което е дадено е , че дължината на вложените интервали клони към 0.

Още една илюстрация: Питане: сходяща ли е редицата [tex]1,1/2, 1/3,\dots[/tex]. Отговор: Рано е да се каже Всичко зависи от базисното пространство, т.е. юниверса или рамката, която имаме..например ако пространството е (0,1) то редицата не е сходяща. Да, тя е редица на Коши, но не е е сходяща.
Или това вече излиза извън рамките на математическото образованието във Физическия факултет

П.П. Нямам никакви притеснения по отношение на тази теорема, просто не ми харесва да се коментира така... малко дилетански, сори.

Е, аз се опитвам да обясня възможно най-разбираемо с пример защо само общата граница се съдържа във всички интервали, не да доказвам строго теоремата, защото точно това е притеснението на автора и не виждам никакъв оффтопик. Мислех, че ясно това.

Това за пространството не го разбирам. Имаме редица с общ член а_n,, като n заема всички стойности от 1 до безкрайност. Как така ще я ограничаваш в някакъв интервал?

[pipi langstrump]

Да, разбирам те напълно, но аз твърдя, че няма да е само тя, а ще са безбройно много околности на нулата!

Не, не е така, защото колкото и малка околност на нулата да вземеш, при достатъчно големи n всички интервали от едно число нататък ще се съдържат в нея. Колкото повече нараства n, толкова по-малка става дължината на интервала; тя може да се направи неограничено малка, така че интервала да "влезе" в каквато искаш околност на нулата.

[drago]

...Това за пространството не го разбирам. Имаме редица с общ член а_n,, като n заема всички стойности от 1 до безкрайност. Как така ще я ограничаваш в някакъв интервал?

Не ограничавам индексите... добре, представи си че с [tex]X _1[/tex] сме означили [tex]\mathbb{R}[/tex] , с [tex]X_2[/tex] реалните числа в интервала [tex](0,\sqrt{2})[/tex], a с [tex]X_3[/tex] - множеството на рационалните числа. Нека сега [tex]x_1,x_2,\dots[/tex] e редицата от рационални числа, така че [tex]x_n[/tex] е равно на десетичното представяне на [tex]\sqrt{2}[/tex] отрязано до [tex]n[/tex]-тия знак след дес. запетая. Забележи, че [tex]x_n[/tex] принадлежат едновременно на [tex]X_1,X_2[/tex] и [tex]X_3[/tex]. Пита се: сходяща ли е [tex](x_n)[/tex]. Отговорът зависи от контекста, в кое от трите пространства се намираме. За [tex]X_1[/tex] e така, за [tex]X_2[/tex] и [tex]X_3[/tex] не е сходяща. Защо е така? ами виж дефиницията за сходяща редица.
Каква е тази черта, която отличава [tex]X_1[/tex] ot [tex]X_2[/tex] и [tex]X_3[/tex]? [tex]X_1[/tex] има едно хубаво свойство: в него всяка редица на Коши(грубо казано редица в която членовете се сгъстяват все повече един към друг, когато индекса расте) е сходяща. Такива пространства се наричат пълни. И така [tex]X_1[/tex] е пълно, а другите две - не.

Да се върна към първоначалния въпрос, така както го схващам. Ако имаме краен брой множесства ние знаем от практически опит как да им намерим сечението. Вземаме първото, пресичаме го с второто, след това полученото пресичаме с третото и т.н. Когато имаме обаче безкраен брой множества, (оставям настрана факта, че безкрайноста я има само в нашите фантазии) тази инуиция вече не работи. Ако опитаме все пак ще получим нещо подобно на парадокса на Ахил, или точно това, което притеснява Зари. Почваме да пресичаме и всеки път сечението е безкрайно..., е, в кой точно момент ще стане крайно, т.е. една точка?
Затова умните хора преди много време са се отделили от тази чисто механична представа за сечение и са приели една абстракция, че сечението на дадена с-ма, независимо крайна, безкрайна,... са точно онези елементи, които са общи за всички множества. Това пасва идеално с интуицията ни за караен брой множества и затова сме я приели като дефиниция. От тук нататък, ако има нещо, което ни смущава- гледаме дефиницията- ок ли е по нея. Ако все пак нещо още ни смущава, ами да си ни смущава... това вече не се нарича математика , а... философия.

Между другото всички тези притеснения са много бели кахъри. Например ако приемем аксиомата за избора, която е много инуитивно ясна, то може да се направи следната конструкцияю(Парадокс на Банах-Тарски): единичното кълбо да се раздроби на 6 множества. От трите, само с транслация и ротация да се направи пак единчно кълбо, и от другите три- още едно такова. Така едното кълбо се клонира на две със същия размер. Конструкцията е перфектно математически издържана(нарича се парадокс на..., вместо теорема на..., само поради факта, че не е за вярване).Това вече е за притеснение, нали?

[pipi langstrump]

Защо е така? ами виж дефиницията за сходяща редица.

A sequence is said to be convergent if it approaches some limit

Не виждам никакъв проблем с дефиницията. Всяка редица, която се доближава до някаква граница е сходяща. Какво число е границата няма никакво значение, няма нищо притеснително в това редица от рационални числа да клони към ирационално. Една редица или е сходяща или е разходяща, трети вариант няма. В никакви множества не можеш да я ограничаваш.

[drago]

A sequence is said to be convergent if it approaches some limit

O, тая дефиниция е яка, направо кърти мивки
Виж сега, ако това те задоволява, нямаш притеснения и си хепи, не виждам защо да се напрягаме повече. Няма смисъл.

[pipi langstrump]

O, тая дефиниция е яка, направо кърти мивки
Виж сега, ако това те задоволява, нямаш притеснения и си хепи, не виждам защо да се напрягаме повече. Няма смисъл.

Не, аз разбирам какво искаш да кажеш, но не мисля, че е правилно да казваш "редицата не е сходяща". И формалната дефиниция с епсилона и делтата да вземем, пак имаме, че съществува число, наречено граница, за което нещо си там се случва. И да ограничиш изкуствено редицата в някакъв интервал или множество, несъдържащи границата, това не променя факта, че числото си съществува и е граница на редицата => тя е сходяща.

[drago]

Добре, виждам, че те интересува, може би бях малко рязък, съжалявам.
Не е въпроса в епсилон дефиницията, има нещо по-съществено. Нека говорим малко по-абстрактно, тъй като явно реалните числа така са ни промили мозъка, че ги приемаме за даденост.
За да имаме сходимост, първо трябва да има някакво пространство [tex]X[/tex] от обекти(точки), които разглеждаме. Тези точки могат да бъдат числа, функции, функционали, оператори, ... Второ, трябва да имаме някакво понятие за близост между тези обекти, например да имаме дефинирано разстояние м/у всеки два обекта.(близостта може да се въведе и по друг начин, при топологичните пространства). Това, с някои доп. свойства на разстоянието, превръща [tex]X[/tex] в метрично пространство. Сега вече може да кажем, кога една редица [tex]x_n[/tex] от точки на [tex]X[/tex] е сходяща. Когато съществува точка [tex]x\in X[/tex] , така че разстоянието [tex]d(x,x_n)[/tex] м/у [tex]x[/tex] и [tex]x_n[/tex] става все по-малко(пропускам епсилон дефиницията). Забележи: "съществува точка [tex]x\in X[/tex] " , т.е. [tex]x[/tex] трябва да е от разглецданото пространство. То и не може другояче, тъй като ние нямаме понятие априори какво друго съществува извън [tex]X[/tex]. Това, което се опитвам да кажа, е че понятието за сходимост на някаква редица се дефинира посредство съществуването на друг обект(нейната граница), която също е в разглеждания universe. Това е общоприетата дефиниция.
Има една друга дефиниция, казва се дефиниция на Коши(или по-скоро редиците, които я удовлетворяват се казват редици на Коши). Исторически Коши вероятно я е въвел, за да дефинира сходимост. Тя разглежда само информацията, която имаме за близостта м/у членовете на редицата, без да прибягва до друг обект(границата) извън редицата. За реалните числа тези две дефиниции са еквивалентни. За произволно метрично пространство X , това обаче не е така. Тези X , за които двете дефиниции са еквивалентни, се наричат пълни https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space (един вид в тях няма "дупки").
Тази теорема (на Кантор) е вярна само за всяко пълно метрично пространство, например виж тук, втората секция https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27 ... on_theorem (за такива, които не са пълни има лесни контрапримери).

[pipi langstrump]

Ok, всичко е ясно, но в крайна сметка има ли пример за такова пространство, което да не може да се "запълни", та да има някакъв практически смисъл да правим разграничение между сходяща редица и редица на Коши? Защото иначе всичко това ми изглежда като прекалена прецизност (може би заради исторически причини) на тия дефиниции.

[drago]

...но в крайна сметка има ли пример за такова пространство, което да не може да се "запълни", та да има някакъв практически смисъл да правим разграничение между сходяща редица и редица на Коши?

Ами по принцип... няма Всяко метрично пространство може да се вложи(потопи) в пълно такова. Доказателството е нещо подобно на рационалните числа, но по-абстрактно, слагаме допълнителни обекти, класове на редици на Коши, които съществуват само във фантазиите ни. Тези нови точки може и да нямат даже инуитивна интерпретация в термините на първоначалното пространство.

Но това няма отношение..., въобще не е прекалена прецизност, всички тези неща са изникнали от практически задачи.
Например виж Теоремата на Банах за неподвижната точка. Тя е вярна за пълни пространства. Виж и нейното приложение за доказване на теореми за съществуване на решения на определени ОДУ, т.н. Теорема на Пикар .
Най общо, това което се прави, е да се построят определени приближения от непрекъснати ф-ии, доказва се че това е редица на Коши и се използва факта че непрекъснтите функции в затворен интервал с равномерната метрика са пълно метрично пространство, т.е. те клонят към същата порода, т.е. непрекъсната ф-я и тя вече, грубо казано, удовлетворява желаното.
Ако C[a,b] не беше пълно, какво от това, че може да го попълним с някакви чудовища, те вече въобще може да не са функции, в случая ще са, но няма да са хубави и няма да ни помогнат да намерим търсеното решение.

[kmitov]

Тази дискусия изяснявя нещо на ученик в средното училище или в първи курс???

[Zarrie]

Първи курс съм, Г-н Митов ККТФ, ФзФ на СУ

[kmitov]

Ми добре. Успехи в науката ти желая!

[drago]

Няма значение кой курс е. Това че мисли и има въпроси, малко извън рамките, за които се счита, че са даденост, само трябва да се поощрява.
В края на краищата би следвало да гледаме на математиката основно като мироглед, а не като някаква игра с правила, за които не ни интересува защо са така.

[kmitov]

Да. Така смятам и аз.