Граница от изпит по мат. анализ 1 уасг

[burgas63]

Да се намери границата: lim(4-x^2).tg([tex]\pi[/tex]x/4) , при х->2

[Knowledge Greedy]

[tex]\lim_{x \to 2}(4-x^2).tg \frac{πx}{4}=\lim_{x \to 2}sin \frac{πx}{4}.\lim_{x \to 2}\frac{4-x^2}{cos\frac{πx}{4}}[/tex]
Първият множител - първата граница е очевидно единица. Разглеждаме втория множител
[tex]\lim_{x \to 2}\frac{4-x^2}{cos\frac{πx}{4}}=\lim_{x \to 2}\frac{4-x^2}{sin \left (\frac{\pi}{2}- \frac{πx}{4} \right )}=\lim_{x \to 2}\frac{(2-x)(2+x)}{sin \left (\frac{\pi}{4}(2-x) \right )}=[/tex]
[tex]=\frac{\pi}{4}\lim_{x \to 2}\frac{\frac{4}{\pi}(2-x)(2+x)}{sin \left (\frac{\pi}{4}(2-x) \right )}=\frac{16}{\pi}[/tex]

[kmitov]

С правилото на Лопитал е по лесно. $\lim_{x \to 2}\frac{4-x^2}{\cos \frac{\pi x}{4}}=\lim_{x \to 2}\frac{-2x}{-\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi x}{4}}=\frac{16}{\pi}$

[burgas63]

Искрени благодарности!