Разходяща редица

[monika_at]

Докажете,че редицата [tex]s_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}[/tex] е разходяща.

[pal702004]

$H(2^k) \ge 1+\frac 1 2 k$

[kmitov]

$s_n >\int_1^{n-1}\frac{dx}{x}=\ln (n-1) \to \infty , \ \ n \to \infty$


$S_{2n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+{\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}}$

$ \ge 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{6}+{\frac{1}{6})+\ldots+(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n})}$


$\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}+S_n$



Ако има граница $S$ ще излезе, че $S \ge S+\frac{1}{2}.$

[pipi langstrump]

Тая задачка няма ли я във всеки учебник по анализ?
С интеграл е най-лесно [tex]\lim s_n = \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x} = \inf.[/tex] иначе може и с подходящо групиране.

[kmitov]

Има я. Нали от там съм ги преписал.